哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题

设闭区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 围成，函数 \(P(x,y)\) 和 \(Q(x,y)\) 在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数，则有 \[ \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_L Pdx + Qdy, \] 其中 \(L\) 是 \(D\) 的取正向的边界曲线。

计算曲线积分 \(\oint_L (x^2y)dx + (y^2x)dy\)，其中 \(L\) 是圆周 \(x^2 + y^2 = 1\) 的正向。令 \(P = x^2y\)，\(Q = y^2x\)，则 \(\frac{\partial P}{\partial y} = x^2\)，\(\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2\)。由格林公式， \[ \iint_D (y^2 - x^2) dxdy = \oint_L x^2y dx + y^2x dy, \] 其中 \(D\) 是单位圆盘。

利用极坐标变换 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则 \(dxdy = r dr d\theta\)，且 \(y^2 - x^2 = r^2(\sin^2\theta - \cos^2\theta) = -r^2\cos 2\theta\)。积分区域 \(D\) 对应 \(0 \leq r \leq 1\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。于是 \[ \iint_D (y^2 - x^2) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (-r^2\cos 2\theta) r dr d\theta = -\int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta \int_0^1 r^3 dr. \] 计算得 \(\int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta = 0\)，\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)，故原积分为 \(0\)。

设空间闭区域 \(\Omega\) 由分片光滑的闭曲面 \(\Sigma\) 围成，函数 \(P(x,y,z)\)、\(Q(x,y,z)\)、\(R(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上具有一阶连续偏导数，则有 \[ \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV = \oiint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy, \] 其中 \(\Sigma\) 是 \(\Omega\) 的取外侧的边界曲面。

计算曲面积分 \(\oiint_\Sigma x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy\)，其中 \(\Sigma\) 是球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) 的外侧。令 \(P = x^3\)，\(Q = y^3\)，\(R = z^3\)，则 \(\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2\)，\(\frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2\)。由高斯公式， \[ \iiint_\Omega 3(x^2 + y^2 + z^2) dV = \oiint_\Sigma x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy, \] 其中 \(\Omega\) 是球体 \(x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2\)。

利用球坐标变换 \(x = r\sin\varphi\cos\theta\)，\(y = r\sin\varphi\sin\theta\)，\(z = r\cos\varphi\)，则 \(dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta\)，且 \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)。积分区域 \(\Omega\) 对应 \(0 \leq r \leq a\)，\(0 \leq \varphi \leq \pi\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。于是 \[ \iiint_\Omega 3r^2 dV = 3 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi d\varphi \int_0^a r^4 dr = 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{12\pi a^5}{5}. \] 故原曲面积分为 \(\frac{12\pi a^5}{5}\)。

设 \(\Gamma\) 是分段光滑的空间有向闭曲线，\(\Sigma\) 是以 \(\Gamma\) 为边界的分片光滑有向曲面，函数 \(P(x,y,z)\)、\(Q(x,y,z)\)、\(R(x,y,z)\) 在包含 \(\Sigma\) 的空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 \[ \oint_\Gamma P dx + Q dy + R dz = \iint_\Sigma \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy. \]

计算曲线积分 \(\oint_\Gamma y dx + z dy + x dz\)，其中 \(\Gamma\) 是平面 \(x + y + z = 1\) 被三个坐标平面所截得的三角形（取逆时针方向）。取 \(\Sigma\) 为平面 \(x + y + z = 1\) 上以 \(\Gamma\) 为边界的三角形区域，方向向上（法向量 \(\vec{n} = (1,1,1)/\sqrt{3}\)）。令 \(P = y\)，\(Q = z\)，\(R = x\)，则旋度 \(\text{rot} \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) = (0-1, 0-1, 0-1) = (-1,-1,-1)\)。由斯托克斯公式， \[ \oint_\Gamma y dx + z dy + x dz = \iint_\Sigma (-1,-1,-1) \cdot \vec{n} dS = \iint_\Sigma (-1,-1,-1) \cdot \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} dS = -\frac{3}{\sqrt{3}} \iint_\Sigma dS = -\sqrt{3} \cdot \text{面积}(\Sigma). \] 三角形 \(\Sigma\) 的顶点为 \((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，边长为 \(\sqrt{2}\)，面积为 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。故原曲线积分为 \(-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}\)。