哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
四．已知 $\displaystyle x>-1$ ，证明：
（1） $\displaystyle \ln (1+x) \leqslant x$ ；
（2）$\displaystyle \left|\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}\right|=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造函数并求导
令 $f(x) = x - \ln(1+x)$，则 $f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$。
公式：$f'(x) = \frac{x}{1+x}$
提示：注意定义域为 $x>-1$，求导时不要忘记链式法则。
步骤 2/7
目标：分析导数符号
当 $x \in (-1,0)$ 时，$x<0$，$1+x>0$，故 $f'(x)<0$；当 $x \in (0,+\infty)$ 时，$x>0$，$1+x>0$，故 $f'(x)>0$。
提示：注意 $x=0$ 处导数为0，是临界点。
步骤 3/7
目标：确定极值并证明不等式
由导数符号可知，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增，故 $x=0$ 处取得极小值 $f(0)=0$。因此 $f(x) \geq 0$，即 $x \geq \ln(1+x)$，亦即 $\ln(1+x) \leq x$。
公式：$f(0)=0$
提示：极小值即最小值，因为函数连续且单调性改变。
步骤 4/7
目标：准备计算极限
考虑极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$。由于分子分母均趋于0，使用洛必达法则。
提示：验证 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
步骤 5/7
目标：第一次洛必达
对分子分母分别求导：分子导数为 $\frac{1}{1+x}-1$，分母导数为 $2x$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}$。
公式：$\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-x] = \frac{1}{1+x}-1$
提示：注意分子求导后仍是 $\frac{0}{0}$ 型，需继续洛必达。
步骤 6/7
目标：第二次洛必达
再次求导：分子导数为 $-\frac{1}{(1+x)^2}$，分母导数为 $2$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2}}{2} = -\frac{1}{2}$。
公式：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}-1\right) = -\frac{1}{(1+x)^2}$
提示：注意符号不要丢失。
步骤 7/7
目标：取绝对值得到结果
因此 $\left|\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$。
提示：绝对值运算。
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