哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解命题含义
命题：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大。即：对于任意 $M>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $0<|x|<\delta$ 时，$|f(x)|>M$。
提示：注意区分“无界”和“无穷大”的概念：无界是指存在点列使得函数值趋于无穷，但无穷大要求所有点都满足函数值大于任意给定正数。
步骤 2/5
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x} \sin\frac{1}{x}$，定义域为 $x \neq 0$。该函数在 $x=0$ 的任意邻域内无界，因为存在点列 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$，使得 $f(x_n) = 2n\pi + \pi/2 \to +\infty$。
公式：$f(x) = \frac{1}{x} \sin\frac{1}{x}$
提示：选择反例时，要确保函数在任意邻域无界，但存在子列趋于0。
步骤 3/5
目标：验证无界性
取 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$，则 $\sin\frac{1}{x_n} = \sin(2n\pi + \pi/2) = 1$，所以 $f(x_n) = \frac{1}{x_n} = 2n\pi + \pi/2$。当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to 0$，$f(x_n) \to +\infty$，故在 $x=0$ 的任意邻域内，$f(x)$ 无界。
公式：$\sin(2n\pi + \pi/2) = 1$
提示：注意 $x_n$ 趋近于0，但函数值趋于无穷，说明无界。
步骤 4/5
目标：验证不是无穷大
取 $y_n = \frac{1}{n\pi}$，则 $\sin\frac{1}{y_n} = \sin(n\pi) = 0$，所以 $f(y_n) = 0$。当 $n \to \infty$ 时，$y_n \to 0$，但 $f(y_n) = 0$ 不趋于无穷。因此，$x \to 0$ 时 $f(x)$ 不是无穷大。
公式：$\sin(n\pi) = 0$
提示：无穷大要求所有趋近于0的点列函数值都趋于无穷，而这里存在点列函数值为0，故不是无穷大。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于存在反例 $f(x) = \frac{1}{x} \sin\frac{1}{x}$，该函数在 $x=0$ 的任意邻域无界，但 $x \to 0$ 时不是无穷大，因此原命题错误。
提示：记住：无界是无穷大的必要不充分条件。
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