哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析命题，判断正误
题目声称：若数列 $\{a_n\}$ 有无穷多个子列都收敛于 $a$，则 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$。直觉上，这似乎与“所有子列收敛于同一极限则原数列收敛”的定理类似，但条件弱化为“无穷多个子列”，需要验证是否成立。
提示：注意区分“所有子列”与“无穷多个子列”的区别。
步骤 2/5
目标：尝试构造反例
考虑一个发散数列，但包含无穷多个收敛于 $a$ 的子列。例如，令 $a_n = \begin{cases} 0, & n \text{ 为完全平方数} \\ 1, & \text{否则} \end{cases}$。则数列 $\{a_n\}$ 不收敛（因为 $0$ 和 $1$ 都是聚点）。
提示：完全平方数有无穷多个，因此子列 $\{a_{k^2}\}$ 恒为 $0$，收敛于 $0$。
步骤 3/5
目标：验证反例满足条件
取所有完全平方数项构成的子列：$a_{1}=0, a_{4}=0, a_{9}=0, \dots$，该子列收敛于 $0$。此外，还可以取其他无穷多个子列，例如只取部分完全平方数项，或混合其他项但保持极限为 $0$ 的子列。因此，存在无穷多个子列收敛于 $0$。
提示：注意：子列必须是从原数列中按顺序选取的无穷项。
步骤 4/5
目标：验证反例不满足结论
原数列 $\{a_n\}$ 不收敛，因为当 $n$ 取非完全平方数时 $a_n=1$，而完全平方数项为 $0$，两个子列极限不同，故原数列极限不存在。因此，$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$。
提示：数列收敛的充要条件是所有子列收敛于同一极限。
步骤 5/5
目标：得出结论
反例表明，存在数列有无穷多个子列收敛于 $a$，但原数列不收敛于 $a$。因此原命题不成立。
提示：正确命题应为：若数列的所有子列都收敛于 $a$，则原数列收敛于 $a$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。