哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断命题真假
命题：若 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a,b]$ 上处处可导，则 $f'(x)$ 有界。该命题是错误的，需要构造反例。
提示：注意：可导不一定导致导函数有界，反例通常涉及振荡函数。
步骤 2/6
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x^2}$，补充定义 $f(0)=0$，定义域为 $[0,1]$。
提示：补充定义 $f(0)=0$ 是为了保证在 $x=0$ 处连续且可导。
步骤 3/6
目标：验证可导性（非零点）
当 $x \neq 0$ 时，$f(x)$ 是初等函数，可导。求导得：$f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x^2} + x^2 \cos\frac{1}{x^2} \cdot (-\frac{2}{x^3}) = 2x \sin\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos\frac{1}{x^2}$。
公式：$(x^2)' = 2x$, $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$, $u = \frac{1}{x^2}$, $u' = -\frac{2}{x^3}$
提示：求导时注意链式法则，不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：验证可导性（零点）
在 $x=0$ 处，用导数定义：$f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h^2}}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin\frac{1}{h^2} = 0$，因为 $|h \sin\frac{1}{h^2}| \leq |h| \to 0$。所以 $f'(0)=0$。
公式：$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
提示：注意极限中 $\sin\frac{1}{h^2}$ 振荡，但 $h$ 趋于0，乘积趋于0。
步骤 5/6
目标：证明导函数无界
取序列 $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$，$n \in \mathbb{N}^+$，则 $x_n \to 0$。计算：$\frac{1}{x_n^2} = 2n\pi$，所以 $\sin\frac{1}{x_n^2} = \sin(2n\pi)=0$，$\cos\frac{1}{x_n^2} = \cos(2n\pi)=1$。代入 $f'(x_n)$ 得：$f'(x_n) = 2x_n \cdot 0 - \frac{2}{x_n} \cdot 1 = -\frac{2}{x_n} = -2\sqrt{2n\pi}$。当 $n \to \infty$ 时，$f'(x_n) \to -\infty$，因此 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近无界。
公式：$f'(x_n) = -\frac{2}{x_n}$
提示：选择 $x_n$ 使得 $\cos\frac{1}{x_n^2}=1$ 是关键，注意 $\sin$ 项为0简化计算。
步骤 6/6
目标：得出结论
函数 $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x^2}$ 在 $[0,1]$ 上处处可导，但导函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近无界，因此原命题错误。
提示：反例说明：可导性不能保证导函数有界，即使定义在闭区间上。
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