哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
4．非负数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与条件
题目给出非负数列 $\{u_n\}$ 满足 $u_n = o\left(\frac{1}{n}\right)$，即 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = 0$。问是否保证级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
公式：$u_n = o\left(\frac{1}{n}\right) \iff \lim_{n\to\infty} n u_n = 0$
提示：注意 $o$ 表示高阶无穷小，即 $u_n$ 比 $1/n$ 更快趋于0。
步骤 2/6
目标：分析命题正确性
直觉上，$u_n$ 比 $1/n$ 更快趋于0，但 $\sum 1/n$ 发散，所以 $\sum u_n$ 可能收敛也可能发散，需要具体分析。
提示：不要仅凭直觉判断，需要构造反例或证明。
步骤 3/6
目标：构造反例思路
寻找一个非负数列 $u_n$，满足 $\lim n u_n = 0$，但 $\sum u_n$ 发散。常见发散级数如 $\sum \frac{1}{n \ln n}$ 发散（积分判别法），且 $\frac{1}{n \ln n} = o\left(\frac{1}{n}\right)$ 因为 $\lim \frac{1/\ln n}{1} = 0$。
公式：积分判别法：$\int_2^\infty \frac{dx}{x \ln x}$ 发散
提示：注意 $\frac{1}{n \ln n}$ 在 $n=1$ 无定义，可从 $n=2$ 开始。
步骤 4/6
目标：验证反例条件
令 $u_n = \frac{1}{n \ln n}$（$n \geq 2$），则 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0$，所以 $u_n = o(1/n)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0$
提示：计算极限时注意 $\ln n \to \infty$。
步骤 5/6
目标：验证级数发散性
级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln n}$ 发散，由积分判别法：$\int_2^\infty \frac{dx}{x \ln x} = \ln(\ln x)\big|_2^\infty = \infty$。
公式：$\int \frac{dx}{x \ln x} = \ln|\ln x| + C$
提示：积分判别法要求函数单调递减，$\frac{1}{x \ln x}$ 在 $x>1$ 时递减。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此存在反例 $u_n = \frac{1}{n \ln n}$ 满足条件但级数发散，故原命题错误。
提示：反例构造是判断命题真伪的重要方法。
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