哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数都存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解命题含义
题目说：若函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数都存在，则 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。我们需要判断这个命题是否正确。
提示：注意：偏导数存在仅保证沿坐标轴方向的变化率存在，不能保证其他方向的变化率存在，因此不能直接推出连续。
步骤 2/5
目标：构造反例函数
考虑函数 $$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$ 这个函数在原点附近的行为特殊，常用于反例。
提示：构造反例时，通常选择分母为 $x^2+y^2$ 的齐次函数，使得沿不同路径极限不同。
步骤 3/5
目标：验证偏导数存在
计算 $f_x(0,0)$：$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$$ 类似地，$f_y(0,0)=0$。所以偏导数存在。
公式：偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：计算偏导数时，注意代入 $y=0$ 后分子为0，极限为0。
步骤 4/5
目标：检验连续性：沿路径 y=x
沿路径 $y=x$ 趋近于 $(0,0)$：$$\lim_{x\to 0}f(x,x)=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$ 该极限不等于 $f(0,0)=0$。
提示：注意：沿不同路径极限不同时，函数在该点极限不存在，因此不连续。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于存在路径使得极限不等于函数值，函数在 $(0,0)$ 处不连续。因此，偏导数存在不能保证连续，原命题错误。
提示：记住：偏导数存在是连续的必要非充分条件。
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