哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $x>0$ 上的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析通项渐近行为
对于固定的 $x>0$，当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{3^n x} \to 0$，利用等价无穷小 $\sin t \sim t$（$t\to 0$），有 $2^n \sin \frac{1}{3^n x} \sim 2^n \cdot \frac{1}{3^n x} = \frac{1}{x} \left(\frac{2}{3}\right)^n$。
公式：$\sin t \sim t \ (t\to 0)$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$\frac{1}{3^n x}$ 确实趋于0，且 $x$ 固定。
步骤 2/6
目标：判断点态收敛性
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛（公比 $\frac{2}{3}<1$），由比较判别法知原级数对每个固定的 $x>0$ 绝对收敛，故点态收敛。
公式：比较判别法
提示：注意 $x$ 固定时，$\frac{1}{x}$ 是常数，不影响收敛性。
步骤 3/6
目标：考虑一致收敛性必要条件
若级数在 $x>0$ 上一致收敛，则通项 $2^n \sin \frac{1}{3^n x}$ 必须一致趋于 $0$，即 $\forall \varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，对所有 $x>0$ 有 $|2^n \sin \frac{1}{3^n x}|<\varepsilon$。
公式：一致收敛的必要条件：通项一致趋于0
提示：通项一致趋于0是一致收敛的必要条件，但非充分。
步骤 4/6
目标：构造反例点
取 $x_n = \frac{1}{3^n \cdot \frac{\pi}{2}}$，则 $\frac{1}{3^n x_n} = \frac{\pi}{2}$，于是 $\sin \frac{1}{3^n x_n} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$，因此第 $n$ 项为 $2^n$，不趋于 $0$。
提示：选择 $x_n$ 使得 $\sin$ 取最大值1，从而项的值最大。
步骤 5/6
目标：验证不一致收敛
对于任意 $N$，取 $n=N$ 和 $x = \frac{1}{3^N \cdot \frac{\pi}{2}}$，则第 $N$ 项为 $2^N$，级数余项 $\sum_{k=N}^{\infty} 2^k \sin \frac{1}{3^k x}$ 至少包含这一项，故余项不能任意小（例如取 $\varepsilon=1$，则无论 $N$ 多大，存在 $x$ 使余项 $\geq 2^N >1$），因此级数不一致收敛。
提示：注意反例中 $x$ 依赖于 $n$，这正是破坏一致收敛的关键。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin \frac{1}{3^n x}$ 在 $x>0$ 上不一致收敛。
提示：结论：点态收敛但不一致收敛。
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