哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：方程 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的充分小邻域上确定唯一的连续函数 $y=y(x)$ ，使得 $y(0)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确隐函数定理的条件
隐函数定理要求函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $f(0,0)=0$，偏导数 $f_y$ 存在且连续，并且 $f_y(0,0) \neq 0$。这些条件是保证存在唯一连续隐函数的前提。
提示：注意检查 $f_y$ 的连续性，这是定理成立的关键条件之一。
步骤 2/5
目标：应用隐函数定理
由隐函数定理，存在 $\varepsilon > 0$ 和 $\delta > 0$，使得对每个 $x \in (-\delta, \delta)$，存在唯一的 $y \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ 满足 $f(x, y) = 0$，且 $y(0) = 0$。此外，$y$ 作为 $x$ 的函数是连续的。
提示：注意 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 的选取依赖于 $f$ 的性质，通常需要保证邻域足够小。
步骤 3/5
目标：验证唯一性
隐函数定理保证了在 $(-\delta, \delta) \times (-\varepsilon, \varepsilon)$ 内，对每个 $x$ 存在唯一的 $y$ 满足方程。因此，函数 $y = y(x)$ 是唯一确定的。
提示：唯一性依赖于 $f_y \neq 0$ 的条件，如果 $f_y$ 为零，可能有多解或没有解。
步骤 4/5
目标：验证连续性
隐函数定理还保证了 $y(x)$ 在 $x=0$ 附近连续。这是因为定理的结论中明确说明 $y$ 是连续函数。
提示：连续性是由定理保证的，不需要额外证明。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，在 $(0,0)$ 的充分小邻域上，方程 $f(x,y)=0$ 确定唯一的连续函数 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=0$。
提示：注意“充分小邻域”指的是 $x$ 和 $y$ 的邻域，具体大小由定理给出。
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