哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确可微的定义
函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处可微的定义是：存在常数 $A$，使得当 $x \to 0$ 时，有 $y(x) = y(0) + A x + o(x)$。由于已知 $y(0)=0$，所以条件简化为 $y(x) = A x + o(x)$。
公式：$y(x) = y(0) + A x + o(x)$
提示：注意 $o(x)$ 表示比 $x$ 高阶的无穷小，即 $\lim_{x\to 0} \frac{o(x)}{x}=0$。
步骤 2/7
目标：转化为导数存在性
可微与可导等价（对于一元函数）。因此，$y$ 在 $x=0$ 处可微当且仅当极限 $\lim_{x \to 0} \frac{y(x)-y(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x}$ 存在。记该极限为 $A$，则 $A$ 即为导数 $y'(0)$。
公式：$y'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x}$
提示：注意分母是 $x-0$，不要写成 $x$ 而忽略极限过程。
步骤 3/7
目标：分析题目条件
题目未给出 $y(x)$ 的具体表达式，仅假设 $y(0)=0$ 且 $y$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义。因此，无法直接计算极限 $\lim_{x\to 0} y(x)/x$。可微性取决于 $y(x)$ 在 $x=0$ 附近的行为。
提示：注意：仅知道 $y(0)=0$ 不足以判断可微性，例如 $y(x)=|x|$ 满足 $y(0)=0$ 但不可微。
步骤 4/7
目标：讨论可微的必要条件
若 $y$ 在 $x=0$ 处可微，则 $y$ 在 $x=0$ 处连续。因为可微推出可导，可导推出连续。但反之不成立。所以连续性是可微的必要条件。
提示：不要混淆：连续不一定可微，但可微一定连续。
步骤 5/7
目标：举例说明不同情况
考虑两个例子：
- 若 $y(x)=x$，则 $\lim_{x\to 0} y(x)/x = 1$，可微。
- 若 $y(x)=|x|$，则 $\lim_{x\to 0} y(x)/x$ 不存在（左极限 $-1$，右极限 $1$），不可微。
- 若 $y(x)=x\sin(1/x)$（补充定义 $y(0)=0$），则 $\lim_{x\to 0} y(x)/x = \lim_{x\to 0} \sin(1/x)$ 不存在，不可微。
提示：注意：$y(x)=x\sin(1/x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导，因为导数极限不存在。
步骤 6/7
目标：总结可微的判定
由于题目信息不足，无法给出具体结论。通常，需要检查极限 $\lim_{x\to 0} y(x)/x$ 是否存在。若存在，则 $y$ 在 $x=0$ 处可微；否则不可微。
提示：注意：可微性依赖于 $y(x)$ 的具体形式，不能仅凭 $y(0)=0$ 判断。
步骤 7/7
目标：给出一般性结论
综上所述，$y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的可微性取决于极限 $\lim_{x\to 0} \frac{y(x)}{x}$ 是否存在。若存在，则可微；否则不可微。由于题目未给出 $y(x)$ 的具体形式，无法进一步判断。
提示：在实际问题中，需要根据 $y(x)$ 的表达式具体分析。
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