哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与假设
题目中未给出 $y(x)$ 的具体定义，通常此类问题中 $y(x)$ 由某个方程或条件隐含给出。为演示解题方法，假设 $y(x) = \ln(1+x) - x$，则需求极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x}$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x}$
提示：注意：实际解题时需根据题目上下文确定 $y(x)$ 的表达式，此处仅为示例。
步骤 2/5
目标：判断极限类型
将 $x=0$ 代入分子 $\ln(1+0)-0 = 0$，分母 $0$，得到 $\frac{0}{0}$ 型未定式，不能直接代入求值。
公式：$\frac{0}{0}$
提示：遇到 $\frac{0}{0}$ 型极限，常用洛必达法则或泰勒展开。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：分子 $\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-x] = \frac{1}{1+x} - 1$，分母 $\frac{d}{dx}[x] = 1$。于是原极限化为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{1} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1+x} - 1 \right)$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1+x} - 1 \right)$
提示：使用洛必达法则前需确认分子分母在 $x=0$ 附近可导且分母导数不为零。
步骤 4/5
目标：代入求值
将 $x=0$ 代入 $\frac{1}{1+x} - 1$，得 $\frac{1}{1+0} - 1 = 1 - 1 = 0$。
公式：$\frac{1}{1+0} - 1 = 0$
提示：代入后得到确定数值，极限存在。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，在假设 $y(x)=\ln(1+x)-x$ 的条件下，所求极限为 $0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x} = 0$
提示：若 $y(x)$ 为其他形式（如 $e^x-1$ 或 $\sin x$），极限值可能不同，需具体分析。
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