哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．$\sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上有界，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件得到导数上界
由题意，存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\in(0,a]$，有 $|\sqrt{x}f'(x)|\leq M$，即 $|f'(x)|\leq \frac{M}{\sqrt{x}}$。
公式：$|f'(x)|\leq \frac{M}{\sqrt{x}}$
提示：注意 $\sqrt{x}f'(x)$ 有界，但 $f'(x)$ 在 $x$ 接近 $0$ 时可能无界。
步骤 2/6
目标：明确要证明的目标
要证 $f(x)$ 在 $(0,a]$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in(0,a]$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x_1,x_2$。
步骤 3/6
目标：选择 $\delta$ 并分情况讨论
取 $\delta=\left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2$。对任意 $x_1,x_2\in(0,a]$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，不妨设 $x_1\leq x_2$。分两种情况：$x_1\geq\delta$ 和 $x_1<\delta$。
公式：$\delta=\left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2$
提示：分情况是为了处理 $x$ 接近 $0$ 时 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 很大的问题。
步骤 4/6
目标：情况1：$x_1\geq\delta$
当 $x_1\geq\delta$ 时，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。由于 $\xi\geq x_1\geq\delta$，故 $\frac{1}{\sqrt{\xi}}\leq\frac{1}{\sqrt{\delta}}$，从而 $|f(x_2)-f(x_1)|\leq\frac{M}{\sqrt{\xi}}|x_2-x_1|\leq\frac{M}{\sqrt{\delta}}\cdot\delta=M\sqrt{\delta}=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$。
公式：$|f(x_2)-f(x_1)|\leq M\sqrt{\delta}=\frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意 $\xi\geq x_1$ 保证了 $\frac{1}{\sqrt{\xi}}\leq\frac{1}{\sqrt{x_1}}$，但这里直接用 $\delta$ 更简单。
步骤 5/6
目标：情况2：$x_1<\delta$
当 $x_1<\delta$ 时，$x_2
公式：$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\leq\sqrt{x_2-x_1}$
提示：注意不等式 $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\leq\sqrt{x_2-x_1}$ 成立，可通过平方验证。
步骤 6/6
目标：综合两种情况得出结论
综上，对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2$，则对任意 $x_1,x_2\in(0,a]$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，总有 $|f(x_2)-f(x_1)|\leq\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $(0,a]$ 上一致连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $\varepsilon$ 和 $M$，与 $x$ 无关。
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