哈尔滨工业大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上存在，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解一致连续的定义与证明思路
一致连续要求：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x,y\in(0,a]$ 且 $|x-y|<\delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。由于区间 $(0,a]$ 在 $0$ 处开，难点在于 $x$ 靠近 $0$ 时函数可能变化剧烈。题目给出 $\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}f'(x)$ 存在，这可用于控制 $0$ 附近的导数增长，从而将区间分为 $(0,\delta_1]$ 和 $[\delta_1,a]$ 两部分分别处理。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in(0,a],|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意区间左端点开，不能直接使用闭区间上的 Cantor 定理，需单独处理 $0$ 附近。
步骤 2/5
目标：利用极限条件得到导数在0附近的界
设 $\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}f'(x)=L$（有限），则存在 $\delta_1>0$，使得当 $0
公式：$|f'(x)|\leq\frac{|L|+1}{\sqrt{x}},\quad 0
提示：极限存在保证局部有界，这里取 $\varepsilon=1$ 得到具体界。
步骤 3/5
目标：证明f在(0,δ₁)上一致连续
对任意 $0
公式：$|f(y)-f(x)|\leq2(|L|+1)(\sqrt{y}-\sqrt{x})$
提示：这里用 $\sqrt{y}-\sqrt{x}\leq\sqrt{y}$ 简化，注意 $y$ 本身也要小，所以取 $\delta_2$ 同时控制 $y$ 和 $y-x$。
步骤 4/5
目标：证明f在[δ₂/2, a]上一致连续
由于 $f$ 在 $(0,a]$ 上可导，故在 $[\delta_2/2,a]$ 上连续（可导必连续）。闭区间上的连续函数必一致连续（Cantor定理），因此存在 $\delta_3>0$，使得对任意 $x,y\in[\delta_2/2,a]$ 且 $|x-y|<\delta_3$，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
公式：Cantor定理：闭区间上连续函数一致连续
提示：注意区间左端点取 $\delta_2/2$ 而非 $\delta_2$，是为了后续合并区间时能覆盖中间区域。
步骤 5/5
目标：合并两部分，证明整体一致连续
取整体 $\delta=\min(\delta_2/2,\delta_3)$。对任意 $x,y\in(0,a]$ 且 $|x-y|<\delta$，分三种情况：
1. 若 $x,y\in[\delta_2/2,a]$，由第二步保证；
2. 若 $x,y\in(0,\delta_2)$，由第一步保证；
3. 若一个小于 $\delta_2/2$，另一个大于 $\delta_2/2$，由于 $|x-y|<\delta\leq\delta_2/2$，则两者实际上都落在 $(0,\delta_2)$ 内，归入情况2。
因此对任意 $x,y\in(0,a]$ 满足 $|x-y|<\delta$ 都有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，即 $f$ 在 $(0,a]$ 上一致连续。
公式：$\delta=\min(\delta_2/2,\delta_3)$
提示：合并时需确保两个子区间的覆盖无缝隙，取 $\delta_2/2$ 作为分界点可避免中间区域遗漏。
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