哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一、用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{2}}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的极限
要证明 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2} = 1$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|\sqrt[n]{n^2} - 1| < \varepsilon$。
提示：注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性，$N$ 依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：引入变量简化表达式
令 $a_n = \sqrt[n]{n^2} - 1$，则 $a_n > 0$，且 $\sqrt[n]{n^2} = 1 + a_n$。于是 $n^2 = (1 + a_n)^n$。
公式：$n^2 = (1 + a_n)^n$
提示：注意 $a_n$ 为正，因为 $\sqrt[n]{n^2} > 1$。
步骤 3/6
目标：利用二项式定理展开
由二项式定理，$(1 + a_n)^n = 1 + n a_n + \frac{n(n-1)}{2} a_n^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a_n^3 + \cdots + a_n^n$。由于所有项为正，有 $n^2 \geq \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a_n^3$（取前三项之后的项）。
公式：$(1 + a_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_n^k$
提示：选择适当的项数进行放缩，这里取第4项（$k=3$）是因为 $k=2$ 时估计不够精确。
步骤 4/6
目标：推导 $a_n$ 的上界
由 $n^2 \geq \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a_n^3$ 得 $a_n^3 \leq \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)}$。当 $n \geq 4$ 时，$n-1 \geq n/2$，$n-2 \geq n/2$，所以 $\frac{6n}{(n-1)(n-2)} \leq \frac{6n}{(n/2)(n/2)} = \frac{24}{n}$。因此 $a_n \leq \sqrt[3]{\frac{24}{n}}$。
公式：$a_n \leq \sqrt[3]{\frac{24}{n}}$
提示：注意 $n$ 足够大时才能使用 $n-1 \geq n/2$ 等不等式，需说明 $n \geq 4$。
步骤 5/6
目标：根据 $\varepsilon$ 选取 $N$
对任意 $\varepsilon > 0$，要使 $a_n < \varepsilon$，只需 $\sqrt[3]{\frac{24}{n}} < \varepsilon$，即 $n > \frac{24}{\varepsilon^3}$。取 $N = \max\{4, \lceil 24/\varepsilon^3 \rceil\}$，则当 $n > N$ 时，有 $a_n \leq \sqrt[3]{\frac{24}{n}} < \varepsilon$，即 $|\sqrt[n]{n^2} - 1| < \varepsilon$。
公式：$N = \max\{4, \lceil 24/\varepsilon^3 \rceil\}$
提示：注意 $N$ 必须取整数，且要保证 $n \geq 4$ 使之前的放缩成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|\sqrt[n]{n^2} - 1| < \varepsilon$，故 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2} = 1$。
提示：证明完成，注意逻辑的完整性。
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