哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七、解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R>0$ ，求
$$
F(x)=\frac{f(x)}{1-x}
$$
的幂级数展开，并讨论该级数的收玫半径．
（2）若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：
$$
\overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|S_{n}\right|}=1 .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将F(x)表示为幂级数乘积
已知 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，且 $\frac{1}{1-x}=\sum_{m=0}^{\infty} x^m$，则 $F(x)=\frac{f(x)}{1-x}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty} x^m\right)$。
公式：$\frac{1}{1-x}=\sum_{m=0}^{\infty} x^m$ 当 $|x|<1$
提示：注意两个级数相乘时，需要保证绝对收敛才能交换求和顺序，但这里我们只形式地求幂级数展开，后续再考虑收敛域。
步骤 2/6
目标：合并同次幂项得到F(x)的幂级数
令 $k=n+m$，则 $n$ 从 $0$ 到 $k$，$m=k-n$，于是 $F(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k} a_n\right)x^k$。记 $S_k=\sum_{n=0}^{k} a_n$，则 $F(x)=\sum_{k=0}^{\infty} S_k x^k$。
公式：$F(x)=\sum_{k=0}^{\infty} S_k x^k$
提示：注意 $S_k$ 包含 $a_0$，即 $S_k=a_0+a_1+\cdots+a_k$。
步骤 3/6
目标：讨论F(x)的收敛半径
由Cauchy-Hadamard公式，$F(x)$的收敛半径 $R_F$ 满足 $\frac{1}{R_F}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|S_k|}$。由于 $f(x)$ 收敛半径为 $R$，$\frac{1}{1-x}$ 收敛半径为 $1$，通常 $R_F=\min\{R,1\}$。但需注意：若 $R>1$，则 $F(x)$ 在 $|x|<1$ 内解析，但 $x=1$ 是奇点（除非 $f(1)=0$），故 $R_F=1$；若 $R<1$，则 $R_F=R$；若 $R=1$，则 $R_F\le 1$。
公式：$\frac{1}{R_F}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|S_k|}$
提示：收敛半径不一定等于 $\min\{R,1\}$，例如 $f(x)=0$ 时 $R=\infty$，但 $F(x)=0$ 收敛半径为 $\infty$。一般情况需具体分析。
步骤 4/6
目标：证明上极限不超过1
已知 $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|a_n|<(1+\varepsilon)^n$。于是对充分大的 $n$，$|S_n|\le \sum_{k=1}^n |a_k|\le C+\sum_{k=N+1}^n (1+\varepsilon)^k \le C+\frac{(1+\varepsilon)^{n+1}}{\varepsilon}$。因此 $\sqrt[n]{|S_n|}\le \sqrt[n]{C+\frac{(1+\varepsilon)^{n+1}}{\varepsilon}}\to 1+\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 任意性得 $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|S_n|}\le 1$。
公式：$\sum_{k=N+1}^n (1+\varepsilon)^k = \frac{(1+\varepsilon)^{N+1}((1+\varepsilon)^{n-N}-1)}{\varepsilon}$
提示：注意 $C$ 是前 $N$ 项和，不影响极限。
步骤 5/6
目标：证明上极限不小于1
由 $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，存在子列 $n_k$ 使得 $\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}\to 1$。假设 $\limsup\sqrt[n]{|S_n|}<1$，则存在 $\delta>0$ 和 $N$，当 $n>N$ 时 $|S_n|<(1-\delta)^n$。对充分大的 $n_k$，$|a_{n_k}|=|S_{n_k}-S_{n_k-1}|\le |S_{n_k}|+|S_{n_k-1}|<(1-\delta)^{n_k}+(1-\delta)^{n_k-1}<2(1-\delta)^{n_k-1}$。于是 $\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}<\sqrt[n_k]{2}(1-\delta)^{(n_k-1)/n_k}\to 1-\delta$，与 $\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}\to 1$ 矛盾。故 $\limsup\sqrt[n]{|S_n|}\ge 1$。
公式：$a_{n_k}=S_{n_k}-S_{n_k-1}$
提示：注意反证法的使用，以及不等式放缩时需小心。
步骤 6/6
目标：综合结论
由步骤4和5得 $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|S_n|}=1$。
提示：注意 $S_n$ 是从 $k=1$ 开始求和，但 $a_0$ 不影响极限。
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