哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三、设 $n$ 是一个给定的正整数，且
$$
f(x)= \begin{cases}x^{n} \sin (\ln |x|), & x \neq 0 \\ 0, & , x=0\end{cases}
$$
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{n^{2}+1} \cdot x^{n-k} \sin (\ln |x|+\alpha), x \neq 0$ ，求 $k$ 和 $\displaystyle \tan \alpha$ ．
（2）当 $\displaystyle x \neq 0$ 时，求 $\displaystyle f^{(m)}(x), ~ m$ 是不超过 $n$ 的任一正整数，即 $\displaystyle m \leq n, n \in \mathbb{N}^{*}$ 。
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在 $\displaystyle 1,2, \cdots, n-1$ 阶导，但不存在 $n$ 阶导。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求导并整理表达式
当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = x^n \sin(\ln |x|)$。求导得：
$$f'(x) = n x^{n-1} \sin(\ln |x|) + x^n \cos(\ln |x|) \cdot \frac{1}{x} = x^{n-1} [n \sin(\ln |x|) + \cos(\ln |x|)].$$
公式：$(x^n)' = n x^{n-1}$, $(\sin(\ln |x|))' = \cos(\ln |x|) \cdot \frac{1}{x}$
提示：注意对 $\sin(\ln |x|)$ 求导时，$\ln |x|$ 的导数为 $1/x$，且 $x^n$ 与 $\sin(\ln |x|)$ 的乘积求导需使用乘法法则。
步骤 2/7
目标：利用三角恒等式合并正弦和余弦
设 $\sqrt{n^2+1} \sin(\ln |x| + \alpha) = \sqrt{n^2+1} [\sin(\ln |x|) \cos \alpha + \cos(\ln |x|) \sin \alpha]$。与 $f'(x)$ 表达式比较系数得：
$$\sqrt{n^2+1} \cos \alpha = n, \quad \sqrt{n^2+1} \sin \alpha = 1.$$
公式：$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
提示：注意系数匹配时，$\sin(\ln |x|)$ 和 $\cos(\ln |x|)$ 的系数应分别相等。
步骤 3/7
目标：求解 $k$ 和 $\tan \alpha$
由比较结果得 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{n}$。同时，$f'(x) = \sqrt{n^2+1} \cdot x^{n-1} \sin(\ln |x| + \alpha)$，因此 $k=1$。
公式：$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
提示：注意 $k$ 是 $x$ 的指数中的减数，即 $x^{n-k}$ 中的 $k$。
步骤 4/7
目标：建立高阶导数的递推关系
设 $f^{(m)}(x) = x^{n-m} [A_m \sin(\ln |x|) + B_m \cos(\ln |x|)]$，其中 $A_0=1, B_0=0$。求导得：
$$f^{(m+1)}(x) = x^{n-m-1} [((n-m)A_m - B_m) \sin(\ln |x|) + ((n-m)B_m + A_m) \cos(\ln |x|)].$$
因此递推关系为：
$$\begin{pmatrix} A_{m+1} \\ B_{m+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-m & -1 \\ 1 & n-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix}.$$
公式：乘法法则及链式法则
提示：注意每次求导后 $x$ 的指数减少1，且 $\sin$ 和 $\cos$ 的系数通过矩阵乘法更新。
步骤 5/7
目标：求解递推关系得到闭式表达式
将系数视为复数：$A_m + i B_m$。递推可写为：
$$A_{m+1} + i B_{m+1} = [(n-m) + i] (A_m + i B_m).$$
因此
$$A_m + i B_m = \prod_{j=0}^{m-1} [(n-j) + i] = \prod_{j=0}^{m-1} \sqrt{(n-j)^2+1} \, e^{i \theta_j},$$
其中 $\theta_j = \arctan\left(\frac{1}{n-j}\right)$。所以
$$f^{(m)}(x) = x^{n-m} \left( \prod_{j=0}^{m-1} \sqrt{(n-j)^2+1} \right) \sin\left( \ln |x| + \sum_{j=0}^{m-1} \theta_j \right).$$
公式：复数乘法：$a+ib = \sqrt{a^2+b^2} e^{i \arctan(b/a)}$
提示：注意 $\theta_j$ 的定义中 $\tan \theta_j = 1/(n-j)$，且 $m \leq n$ 保证 $n-j \geq 1$。
步骤 6/7
目标：证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在 $1$ 到 $n-1$ 阶导数
对于 $m \leq n-1$，由 (2) 知 $f^{(m-1)}(x) = x^{n-m+1} P_{m-1}(\ln |x|)$，其中 $P_{m-1}$ 是 $m-1$ 次多项式（有界）。则
$$\lim_{x \to 0} \frac{f^{(m-1)}(x) - f^{(m-1)}(0)}{x} = \lim_{x \to 0} x^{n-m} P_{m-1}(\ln |x|) = 0,$$
因为 $n-m \geq 1$ 且 $P_{m-1}(\ln |x|)$ 当 $x \to 0$ 时趋于无穷的速度慢于任何幂函数。因此 $f^{(m)}(0)=0$ 存在。
公式：导数定义：$f^{(m)}(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(m-1)}(x) - f^{(m-1)}(0)}{x}$
提示：注意 $f^{(m-1)}(0)=0$ 需先由归纳法证明（$m=1$ 时 $f(0)=0$）。
步骤 7/7
目标：证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不存在 $n$ 阶导数
当 $m=n$ 时，$f^{(n-1)}(x) = x^{0} P_{n-1}(\ln |x|) = P_{n-1}(\ln |x|)$。则
$$\lim_{x \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(0)}{x} = \lim_{x \to 0} P_{n-1}(\ln |x|).$$
由于 $\ln |x| \to -\infty$，$P_{n-1}(\ln |x|)$ 是 $\ln |x|$ 的多项式，其极限不存在（振荡或无界）。因此 $f^{(n)}(0)$ 不存在。
公式：极限不存在判定
提示：注意 $P_{n-1}$ 是 $n-1$ 次多项式，当 $\ln |x| \to -\infty$ 时，若 $n-1 \geq 1$，则多项式无界；若 $n=1$，则 $P_0$ 为常数，但此时 $n-1=0$，需单独考虑：$f(x)=x \sin(\ln |x|)$，$f'(0)$ 不存在，因为 $\sin(\ln |x|)$ 振荡。
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