哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题

九、解答如下问题： （1）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ y+\sin z-2 t=0 \\ 2 z+\cos t=0\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$. （2）设 $\displaystyle \Gamma$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上没有自交点的曲线，方向取逆时针，求曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} \frac{3 x \mathrm{~d} y-3 y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+5 y^{2}} . $$ （3）设 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 2\right\}$ ，方向朝外，求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． （4）设 $\displaystyle \Sigma: x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0,4 x+2 y+\sqrt{5} z=1$ ，方向朝上．求力 $\displaystyle \vec{F}=\left(-z^{2},-x^{2},-y^{2}\right)$ 绕 $\displaystyle \partial \Sigma$ 一周所做的功，$\displaystyle \partial \Sigma$ 表示 $\displaystyle \Sigma$ 的边界，与 $\displaystyle \Sigma$ 协调定向，方向为逆时针．