哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二、解答如下问题：
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得：
$$
f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用最值定理
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最小值 $m$ 和最大值 $M$，使得对任意 $x \in [a,b]$，有 $m \leq f(x) \leq M$。
提示：注意最值定理要求函数在闭区间上连续，这里条件已满足。
步骤 2/6
目标：估计算术平均值的范围
对给定的 $x_1, x_2, \dots, x_n \in [a,b]$，有 $m \leq f(x_k) \leq M$ 对每个 $k$ 成立。求和得 $n m \leq \sum_{k=1}^n f(x_k) \leq n M$，除以 $n$ 得 $m \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \leq M$。
公式：m \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k) \leq M
提示：注意不等式方向，不要弄反。
步骤 3/6
目标：应用介值定理
由于 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k)$ 介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间，而 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k)$。
提示：介值定理要求函数连续且值介于两端点函数值之间，这里两端点函数值即最小值和最大值。
步骤 4/6
目标：分析数列单调有界性
由条件，数列 $\{x_n\}$ 单调（递增或递减）且有界（$a \leq x_n \leq b$），根据单调有界定理，$\{x_n\}$ 收敛。设极限为 $x_0$，由 $a \leq x_n \leq b$ 及极限的保序性，$x_0 \in [a,b]$。
提示：单调有界定理是数列收敛的充分条件，注意这里数列单调性已知。
步骤 5/6
目标：利用函数连续性取极限
已知 $g(x_n) = f(x_{n+1})$ 对所有 $n$ 成立。由于 $f$ 和 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续，特别地在 $x_0$ 处连续，因此当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to x_0$，$x_{n+1} \to x_0$，有 $\lim_{n \to \infty} g(x_n) = g(x_0)$，$\lim_{n \to \infty} f(x_{n+1}) = f(x_0)$。
公式：\lim_{n \to \infty} g(x_n) = g(\lim_{n \to \infty} x_n) = g(x_0), \quad \lim_{n \to \infty} f(x_{n+1}) = f(\lim_{n \to \infty} x_{n+1}) = f(x_0)
提示：连续函数与极限可交换顺序，但需注意极限存在。
步骤 6/6
目标：推导等式并得出结论
对等式 $g(x_n) = f(x_{n+1})$ 两边取极限，由极限的唯一性得 $g(x_0) = f(x_0)$。因此存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $g(x_0) = f(x_0)$。
提示：极限运算要保证两边极限都存在，这里由连续性保证。
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