哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
八、对参数 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，讨论 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{a} x e^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上的收敛性和一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析逐点收敛性
对每个固定的 $x \in [0,1]$，考虑极限 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} n^a x e^{-nx}$。
- 若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$。
- 若 $x>0$，则 $n^a x e^{-nx} = x \cdot n^a e^{-nx}$。由于指数衰减快于任何幂次增长，$\lim_{n\to\infty} n^a e^{-nx}=0$，故极限为 $0$。
因此，$f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $f(x)\equiv 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} n^a e^{-nx}=0 \quad (x>0)
提示：注意 $x=0$ 时直接代入，$x>0$ 时利用指数衰减性质。
步骤 2/6
目标：计算一致收敛的 sup 范数
考虑 $\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0| = \sup_{x\in[0,1]} n^a x e^{-nx}$。令 $g_n(x)=n^a x e^{-nx}$，求其在 $[0,1]$ 上的最大值。
提示：一致收敛性需要考察 sup 范数是否趋于 0。
步骤 3/6
目标：求导找最大值点
求导：$g_n'(x)=n^a e^{-nx}(1-nx)$。令 $g_n'(x)=0$ 得 $x=1/n$（在 $[0,1]$ 内当 $n\ge1$ 时）。二阶导数 $g_n''(1/n)=n^a e^{-1}(-n)<0$，故 $x=1/n$ 为最大值点。
公式：g_n'(x)=n^a e^{-nx}(1-nx)
提示：注意求导时不要漏掉因子 $n^a$，且需验证二阶导数确认极大值。
步骤 4/6
目标：计算最大值
最大值为 $g_n(1/n)=n^a \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{-1} = n^{a-1} e^{-1}$。因此，$\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)| = n^{a-1} e^{-1}$。
公式：\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)| = n^{a-1} e^{-1}
提示：代入 $x=1/n$ 时注意 $e^{-n\cdot 1/n}=e^{-1}$。
步骤 5/6
目标：讨论一致收敛的条件
一致收敛当且仅当 $\lim_{n\to\infty} n^{a-1} e^{-1}=0$，即 $a-1<0$，亦即 $a<1$。
- 当 $a<1$ 时，$n^{a-1}\to 0$，一致收敛。
- 当 $a=1$ 时，$n^{0}=1$，$\sup = e^{-1} \neq 0$，不一致收敛。
- 当 $a>1$ 时，$n^{a-1}\to \infty$，$\sup \to \infty$，不一致收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} n^{a-1}=0 \iff a<1
提示：注意 $a=1$ 时 sup 为常数，不为 0；$a>1$ 时 sup 发散。
步骤 6/6
目标：总结结论
逐点收敛：$f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $0$。
一致收敛：当 $a<1$ 时，$f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$；当 $a\ge 1$ 时，不一致收敛。
提示：注意区分逐点收敛和一致收敛的条件差异。
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