哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六、已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
由题设，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - a_{n+1})$ 绝对收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n - a_{n+1}|$ 收敛。这意味着数列 $\{a_n\}$ 是柯西列，从而收敛。设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。
提示：注意绝对收敛意味着通项绝对值构成的级数收敛，从而推出数列收敛。
步骤 2/5
目标：引入部分和与阿贝尔变换
考虑部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n b_n$。利用阿贝尔变换（分部求和法）：
$$\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = a_{N+1} \sum_{n=1}^{N} b_n + \sum_{n=1}^{N} \left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) (a_n - a_{n+1}).$$
记 $B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$，则 $\{B_n\}$ 收敛（因为 $\sum b_n$ 收敛），设 $\lim_{n \to \infty} B_n = B$。于是
$$\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = a_{N+1} B_N + \sum_{n=1}^{N} B_n (a_n - a_{n+1}).$$
公式：阿贝尔变换：$\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = a_{N+1} \sum_{n=1}^{N} b_n + \sum_{n=1}^{N} \left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) (a_n - a_{n+1})$
提示：阿贝尔变换是处理级数乘积的重要工具，注意公式中各项的对应关系。
步骤 3/5
目标：处理第一项
当 $N \to \infty$ 时，$a_{N+1} \to a$，$B_N \to B$，故 $a_{N+1} B_N \to aB$。因此第一项收敛。
提示：注意极限的四则运算，前提是极限存在。
步骤 4/5
目标：处理第二项级数
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} B_n (a_n - a_{n+1})$。由于 $\{B_n\}$ 收敛，故有界，设 $|B_n| \leq M$。又 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n - a_{n+1}|$ 收敛，因此
$$\sum_{n=1}^{\infty} |B_n (a_n - a_{n+1})| \leq M \sum_{n=1}^{\infty} |a_n - a_{n+1}| < \infty,$$
即 $\sum_{n=1}^{\infty} B_n (a_n - a_{n+1})$ 绝对收敛，从而收敛。设其和为 $S$。
公式：比较判别法：$|B_n (a_n - a_{n+1})| \leq M |a_n - a_{n+1}|$
提示：绝对收敛推出收敛，注意有界性的使用。
步骤 5/5
目标：合并结果
于是
$$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n b_n = aB + S,$$
即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛。
提示：极限存在即级数收敛。
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