哈尔滨工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，若 $\displaystyle \forall g(x) \in C[a, b]$ 且
$$
\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0 \text {, 则 } \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
证明：（1）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=f(c) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造满足条件的函数g(x)
令 $g(x) = f(x) - \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \, dt$，则 $g \in C[a,b]$ 且 $\int_a^b g(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \, dt \cdot (b-a) = 0$。
公式：$g(x) = f(x) - \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \, dt$
提示：注意常数项的处理，确保积分值为0。
步骤 2/7
目标：利用题设条件得到等式
由题设，对任意满足 $\int_a^b g(x) \, dx = 0$ 的 $g$，有 $\int_a^b f(x) g(x) \, dx = 0$。特别地，取此 $g$，则 $0 = \int_a^b f(x) g(x) \, dx = \int_a^b f(x) \left( f(x) - \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \, dt \right) dx = \int_a^b f^2(x) \, dx - \frac{1}{b-a} \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2$。
公式：$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = 0$
提示：注意将g(x)代入并展开积分。
步骤 3/7
目标：推导出关键等式
由上式得 $\int_a^b f^2(x) \, dx = \frac{1}{b-a} \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2$。
公式：$\int_a^b f^2(x) \, dx = \frac{1}{b-a} \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2$
提示：注意移项时符号。
步骤 4/7
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $c \in [a,b]$ 使得 $\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b-a)$。代入上式得 $\int_a^b f^2(x) \, dx = \frac{1}{b-a} (f(c)(b-a))^2 = f(c) \cdot f(c)(b-a) = f(c) \int_a^b f(x) \, dx$。故(1)得证。
公式：$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b-a)$
提示：积分中值定理要求f连续，这里满足。
步骤 5/7
目标：利用柯西-施瓦茨不等式
由柯西-施瓦茨不等式，$\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b f^2(x) \, dx$，等号成立当且仅当 $f$ 为常数函数。
公式：$\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b f^2(x) \, dx$
提示：注意等号成立的条件。
步骤 6/7
目标：证明等号成立
由(1)的推导过程，我们有 $\int_a^b f^2(x) \, dx = \frac{1}{b-a} \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2$，即 $\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 = (b-a) \int_a^b f^2(x) \, dx$，因此柯西-施瓦茨不等式取等号。
提示：注意将(1)的结果改写为不等式等号形式。
步骤 7/7
目标：得出结论
由柯西-施瓦茨不等式等号成立的条件，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为常值函数。故(2)得证。
提示：常值函数意味着存在常数k使得f(x)=k。
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