哈尔滨工程大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、设 $\displaystyle B(0,1)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 以及光滑单位向量场 $\displaystyle \vec{u}=(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))$ 满足 $\displaystyle u_{x}^{\prime}+v_{y}^{\prime}+w_{z}^{\prime}=0$ ，若还有
$$
(\vec{u} \cdot \vec{n})(x, y, z)=0,(\forall(x, y, z) \in \partial B(0,1))
$$
证明 $\displaystyle \iiint_{B(0,1)}[(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}] \cdot \vec{u} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ，其中 $\displaystyle \vec{u} \cdot \nabla=u \frac{\partial}{\partial x}+v \frac{\partial}{\partial y}+w \frac{\partial}{\partial z}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写被积函数为方向导数形式
考虑被积函数 $[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ] \cdot \vec{u}$。首先写出其分量形式：
$$[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ]_i = \sum_{j=1}^3 u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$
因此
$$[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ] \cdot \vec{u} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} u_i = \frac12 \sum_{j=1}^3 u_j \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \sum_{i=1}^3 u_i^2 \right)$$
记 $|\vec{u}|^2 = u^2+v^2+w^2$，则
$$[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ] \cdot \vec{u} = \frac12 (\vec{u} \cdot \nabla) (|\vec{u}|^2)$$
公式：[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ] \cdot \vec{u} = \frac12 (\vec{u} \cdot \nabla) (|\vec{u}|^2)
提示：注意利用链式法则将 $u_i \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ 合并为 $\frac12 \frac{\partial (u_i^2)}{\partial x_j}$，避免直接展开计算。
步骤 2/4
目标：利用散度为零条件转化为散度形式
考虑向量场 $|\vec{u}|^2 \vec{u}$ 的散度：
$$\nabla \cdot (|\vec{u}|^2 \vec{u}) = \nabla(|\vec{u}|^2) \cdot \vec{u} + |\vec{u}|^2 (\nabla \cdot \vec{u})$$
已知 $\nabla \cdot \vec{u} = 0$，因此
$$\nabla \cdot (|\vec{u}|^2 \vec{u}) = \vec{u} \cdot \nabla (|\vec{u}|^2)$$
于是被积函数可写为
$$[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} ] \cdot \vec{u} = \frac12 \nabla \cdot (|\vec{u}|^2 \vec{u})$$
公式：\nabla \cdot (|\vec{u}|^2 \vec{u}) = \vec{u} \cdot \nabla (|\vec{u}|^2)
提示：注意散度运算中 $\nabla \cdot (f \vec{v}) = \nabla f \cdot \vec{v} + f (\nabla \cdot \vec{v})$，这里 $f = |\vec{u}|^2$，$\vec{v} = \vec{u}$。
步骤 3/4
目标：应用高斯散度定理将体积分转化为曲面积分
将原三重积分写为
$$\iiint_{B(0,1)} \frac12 \nabla \cdot (|\vec{u}|^2 \vec{u}) \, dV = \frac12 \iint_{\partial B(0,1)} (|\vec{u}|^2 \vec{u}) \cdot \vec{n} \, dS$$
其中 $\vec{n}$ 是单位球面的外法向量。
公式：\iiint_{B(0,1)} \nabla \cdot \vec{F} \, dV = \iint_{\partial B(0,1)} \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS
提示：高斯散度定理要求向量场光滑，题目已保证 $\vec{u}$ 光滑，故 $|\vec{u}|^2 \vec{u}$ 也光滑，满足定理条件。
步骤 4/4
目标：利用边界条件证明曲面积分为零
在边界 $\partial B(0,1)$ 上，已知 $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$，因此
$$(|\vec{u}|^2 \vec{u}) \cdot \vec{n} = |\vec{u}|^2 (\vec{u} \cdot \vec{n}) = 0$$
故曲面积分为零，从而原三重积分为零。
公式：\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \quad \Rightarrow \quad (|\vec{u}|^2 \vec{u}) \cdot \vec{n} = 0
提示：边界条件 $\vec{u} \cdot \vec{n}=0$ 是题目直接给出的，不需要额外推导。注意 $|\vec{u}|^2$ 在边界上可能不为零，但乘积中因 $\vec{u} \cdot \vec{n}=0$ 而整体为零。
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