哈尔滨工程大学 2025年数学分析第9题

令 $u = x + y$, $v = x - y$，则 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。雅可比行列式 $J = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{2}$。被积函数 $x^2 + y^2 = \frac{u^2+v^2}{2}$。区域条件：$x^2 - xy + y^2 = \frac{3u^2 + v^2}{4} \leq 2$，即 $\frac{3u^2}{8} + \frac{v^2}{8} \leq 1$。

积分变为：$I = \iint_{\frac{3u^2+v^2}{4} \leq 2} \frac{u^2+v^2}{2} \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{4} \iint_{\frac{3u^2+v^2}{8} \leq 1} (u^2+v^2) \, du \, dv$。

令 $u = \sqrt{\frac{8}{3}} \, r \cos \theta$, $v = \sqrt{8} \, r \sin \theta$，则雅可比行列式 $|J| = \sqrt{\frac{8}{3}} \cdot \sqrt{8} \, r = \frac{8}{\sqrt{3}} r$，且 $r \in [0,1]$, $\theta \in [0,2\pi)$。被积函数 $u^2+v^2 = \frac{8}{3} r^2 \cos^2 \theta + 8 r^2 \sin^2 \theta = 8r^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{3} + \sin^2 \theta \right)$。

于是 $I = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \int_0^1 8r^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{3} + \sin^2 \theta \right) \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} r \, dr \, d\theta = \frac{16}{\sqrt{3}} \int_0^{2\pi} \left( \frac{\cos^2 \theta}{3} + \sin^2 \theta \right) d\theta \int_0^1 r^3 \, dr$。

计算径向积分：$\int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4}$。计算角度积分：$\int_0^{2\pi} \left( \frac{\cos^2 \theta}{3} + \sin^2 \theta \right) d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \frac{1+\cos 2\theta}{6} + \frac{1-\cos 2\theta}{2} \right) d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cos 2\theta \right) d\theta = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}$。

因此 $I = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}\pi}{9}$。