大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
10．证明：含参量 $u$ 的反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $u \in(0,+\infty)$ 上不一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确不一致收敛的定义
要证明反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $u \in(0,+\infty)$ 上不一致收敛，需证明存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $A > 0$，存在 $u \in (0,+\infty)$ 和 $B > A$，满足 $\left| \int_{B}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x \right| \geq \varepsilon_0$。
提示：注意不一致收敛的定义：存在一个公共的 $\varepsilon_0$，对任意 $A$ 都能找到 $u$ 和 $B>A$ 使得余项不小于 $\varepsilon_0$。
步骤 2/7
目标：计算积分值
令 $t = \sqrt{u} x$，则 $x = t/\sqrt{u}$，$\mathrm{d}x = \mathrm{d}t/\sqrt{u}$，积分变为
\[
\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]
因此对任意 $u>0$，积分收敛到常数 $\sqrt{\pi}/2$。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
提示：换元时注意积分限的变化：当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$。
步骤 3/7
目标：写出余项表达式
对任意 $B>0$，余项为
\[
R(B,u) = \int_{B}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x = \int_{\sqrt{u}B}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t.
\]
公式：$$R(B,u) = \int_{\sqrt{u}B}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$$
提示：注意换元后积分下限变为 $\sqrt{u}B$。
步骤 4/7
目标：选取特定的 $\varepsilon_0$
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} \int_{1}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t > 0$。由于 $\int_{1}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 是正常积分且为正，故 $\varepsilon_0$ 是正常数。
提示：注意 $\varepsilon_0$ 必须是一个固定的正数，与 $u$ 和 $B$ 无关。
步骤 5/7
目标：构造反例：对任意 $A>0$ 选取 $u$ 和 $B$
对任意 $A>0$，取 $u = \frac{1}{A^{2}}$，则 $\sqrt{u} = \frac{1}{A}$。再取 $B = 2A$，则 $B > A$，且 $\sqrt{u}B = \frac{1}{A} \cdot 2A = 2$。于是
\[
R(B,u) = \int_{2}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t.
\]
提示：注意 $u$ 和 $B$ 的选取依赖于 $A$，但 $\varepsilon_0$ 是固定的。
步骤 6/7
目标：验证余项大于 $\varepsilon_0$
由于 $\int_{2}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t > \int_{1}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t = 2\varepsilon_0 > \varepsilon_0$，因此 $|R(B,u)| > \varepsilon_0$。
提示：注意比较积分大小：$\int_{2}^{+\infty} e^{-t^2} dt$ 小于 $\int_{1}^{+\infty} e^{-t^2} dt$，因此不能直接用 $\int_{1}^{+\infty}$ 来比较。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，对任意 $A>0$，存在 $u = 1/A^{2}$ 和 $B=2A > A$，使得 $|R(B,u)| > \varepsilon_0$，故该反常积分在 $u \in (0,+\infty)$ 上不一致收敛。
提示：注意结论：不一致收敛意味着存在一个 $\varepsilon_0$ 使得无论 $A$ 多大，都能找到 $u$ 和更大的 $B$ 使余项超过 $\varepsilon_0$。
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