大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解极限表达式的含义
题目给出的极限形式为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0$，该表达式类似于导数定义，但并非直接求 $f$ 在 $0$ 点的导数，而是用 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 的差构造。我们需要判断是否必然推出 $f'(0)=0$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0
提示：注意该极限与导数定义的区别：导数定义中分子是 $f(x)-f(0)$，分母是 $x$，而这里是 $f(x)-f(-x)$ 和 $2x$。
步骤 2/5
目标：假设可导时推导结论
假设 $f$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，且 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$。将给定极限变形：
\[
\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{f(x)-f(0)}{x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{f(-x)-f(0)}{x}
\]
而 $\frac{f(-x)-f(0)}{x} = -\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$，代入得：
\[
\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{f(x)-f(0)}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{f(-x)-f(0)}{-x}
\]
取极限，利用可导性得：
\[
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = \frac{1}{2}f'(0) + \frac{1}{2}f'(0) = f'(0)
\]
由题设该极限为 $0$，故 $f'(0)=0$。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = f'(0)
提示：变形时注意符号处理，将 $\frac{f(-x)-f(0)}{x}$ 转化为 $-\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$ 是关键步骤。
步骤 3/5
目标：考虑可导性是否必要
上述推导依赖于 $f'(0)$ 存在。但题目并未明确 $f$ 在 $0$ 处可导，仅给出该极限条件。因此需要检查是否存在函数满足极限条件但 $f'(0)$ 不存在的情况。
提示：不要默认函数可导，需考虑反例。
步骤 4/5
目标：构造反例
取函数 $f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。该函数在 $x=0$ 处连续但不可导（因为导数极限不存在）。验证给定极限：
当 $x\neq 0$ 时，
\[
f(x)-f(-x) = x\sin\frac{1}{x} - \left(-x\sin\frac{1}{-x}\right)
\]
由于 $\sin\frac{1}{-x} = -\sin\frac{1}{x}$，故
\[
f(x)-f(-x) = x\sin\frac{1}{x} - \left(-x\cdot(-\sin\frac{1}{x})\right) = x\sin\frac{1}{x} - x\sin\frac{1}{x} = 0
\]
因此 $\frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0$，极限为 $0$。但 $f'(0)$ 不存在，故结论不成立。
公式：f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}
提示：注意 $\sin\frac{1}{-x} = -\sin\frac{1}{x}$ 的恒等变形，确保分子恒为0。
步骤 5/5
目标：得出结论
题目中的结论“则 $f'(0)=0$”不一定成立，因为前提条件不能保证 $f$ 在 $0$ 处可导。只有在假设可导时才能推出导数为 $0$。反例表明，即使极限为 $0$，$f'(0)$ 也可能不存在。
提示：区分“极限存在”与“函数可导”是两个不同概念。
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