大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $0<a<b$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{2 a}{a^{2}+b^{2}}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量代换简化不等式
令 $x = \frac{b}{a} > 1$，则原不等式化为 $\frac{2a}{a^2 + a^2 x^2} < \frac{\ln(ax) - \ln a}{a x - a}$，即 $\frac{2}{a(1+x^2)} < \frac{\ln x}{a(x-1)}$。两边乘以正数 $a$ 得 $\frac{2}{1+x^2} < \frac{\ln x}{x-1}$，等价于证明 $\ln x > \frac{2(x-1)}{1+x^2}, \quad x>1$。
公式：\frac{2}{1+x^2} < \frac{\ln x}{x-1}
提示：注意 $a>0$，乘以 $a$ 不改变不等号方向。
步骤 2/6
目标：构造函数并求导
构造函数 $f(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{1+x^2}$，$x \geq 1$。求导得 $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2(1+x^2) - 2(x-1)\cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{x} - \frac{2(1+x^2) - 4x(x-1)}{(1+x^2)^2}$。
公式：f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2(1+x^2) - 4x(x-1)}{(1+x^2)^2}
提示：求导时注意商的导数公式，分子部分要仔细计算。
步骤 3/6
目标：化简导数表达式
化简分子：$2(1+x^2) - 4x(x-1) = 2 + 2x^2 - 4x^2 + 4x = 2 + 4x - 2x^2 = 2(1+2x-x^2)$。所以 $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2(1+2x-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2 - 2x(1+2x-x^2)}{x(1+x^2)^2}$。
公式：f'(x) = \frac{(1+x^2)^2 - 2x(1+2x-x^2)}{x(1+x^2)^2}
提示：通分时注意分母为 $x(1+x^2)^2$。
步骤 4/6
目标：进一步化简分子为完全平方
计算分子：$(1+x^2)^2 - 2x(1+2x-x^2) = (1 + 2x^2 + x^4) - (2x + 4x^2 - 2x^3) = 1 - 2x - 2x^2 + 2x^3 + x^4 = x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x + 1$。因式分解得 $(x^2 + x - 1)^2$。因此 $f'(x) = \frac{(x^2 + x - 1)^2}{x(1+x^2)^2} \geq 0$。
公式：f'(x) = \frac{(x^2 + x - 1)^2}{x(1+x^2)^2}
提示：因式分解易错，需仔细验证。
步骤 5/6
目标：判断导数符号并确定单调性
由于分母 $x(1+x^2)^2 > 0$，分子 $(x^2-1)(x^2+2x-1)$ 当 $x>1$ 时，$x^2-1>0$，$x^2+2x-1>0$，故 $f'(x) > 0$。因此 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上严格递增。
提示：注意 $x>1$ 时 $x^2+2x-1>0$ 恒成立。
步骤 6/6
目标：利用函数单调性证明不等式
计算 $f(1) = \ln 1 - \frac{2(1-1)}{1+1^2} = 0$。由 $f(x)$ 严格递增，当 $x>1$ 时，$f(x) > f(1) = 0$，即 $\ln x > \frac{2(x-1)}{1+x^2}$。因此原不等式成立。
公式：f(x) > 0 \Rightarrow \ln x > \frac{2(x-1)}{1+x^2}
提示：注意 $f(1)=0$ 是边界条件。
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