大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析表达式并分奇偶讨论
考虑 $a_n = \sqrt[n]{2022^n + (-2023)^n}$。由于 $(-2023)^n$ 的符号取决于 $n$ 的奇偶性，需分情况讨论。当 $n$ 为偶数时，$(-2023)^n = 2023^n$；当 $n$ 为奇数时，$(-2023)^n = -2023^n$。
提示：注意 $(-2023)^n$ 的符号变化，这是解题的关键。
步骤 2/5
目标：计算偶数项极限
当 $n$ 为偶数时，$a_n = \sqrt[n]{2022^n + 2023^n} = 2023 \cdot \sqrt[n]{1 + \left(\frac{2022}{2023}\right)^n}$。由于 $\left(\frac{2022}{2023}\right)^n \to 0$，且 $\sqrt[n]{1 + \left(\frac{2022}{2023}\right)^n} \to 1$，因此 $a_n \to 2023$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + x^n} = 1$ 当 $|x|<1$
提示：注意 $\sqrt[n]{1 + \left(\frac{2022}{2023}\right)^n}$ 的极限为1，因为 $\left(\frac{2022}{2023}\right)^n$ 趋于0。
步骤 3/5
目标：计算奇数项极限
当 $n$ 为奇数时，$a_n = \sqrt[n]{2022^n - 2023^n} = -\sqrt[n]{2023^n - 2022^n} = -2023 \cdot \sqrt[n]{1 - \left(\frac{2022}{2023}\right)^n}$。由于 $\left(\frac{2022}{2023}\right)^n \to 0$，且 $\sqrt[n]{1 - \left(\frac{2022}{2023}\right)^n} \to 1$，因此 $a_n \to -2023$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 - x^n} = 1$ 当 $|x|<1$
提示：注意 $2022^n - 2023^n < 0$，开奇次方得负数，因此 $a_n$ 为负。
步骤 4/5
目标：确定聚点
由上述讨论，偶数子列收敛于 $2023$，奇数子列收敛于 $-2023$。因此 $a_n$ 有两个聚点：$2023$ 和 $-2023$。
提示：聚点是子列的极限点，这里两个子列分别收敛到不同值。
步骤 5/5
目标：计算上极限和下极限
上极限是所有聚点中的最大值，下极限是所有聚点中的最小值。因此 $\limsup_{n\to\infty} a_n = 2023$，$\liminf_{n\to\infty} a_n = -2023$。
公式：$\limsup x_n = \sup\{ \text{聚点} \}$，$\liminf x_n = \inf\{ \text{聚点} \}$
提示：注意上极限是最大聚点，下极限是最小聚点。
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