大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．$x \rightarrow x_{0}$ 时，$\alpha=o(1)$ ．证明：$\displaystyle (1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}-e=-\frac{e}{2} \alpha+o(\alpha), x \rightarrow x_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将表达式转化为指数形式
令 $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}$，则 $f(\alpha) = e^{\frac{1}{\alpha} \ln(1+\alpha)}$。
公式：$a^b = e^{b \ln a}$
提示：注意底数 $1+\alpha$ 在 $\alpha \to 0$ 时趋近于1，但指数 $1/\alpha$ 趋于无穷，因此需用指数形式处理。
步骤 2/6
目标：展开对数函数
当 $\alpha \to 0$ 时，$\ln(1+\alpha) = \alpha - \frac{\alpha^2}{2} + \frac{\alpha^3}{3} - \cdots$。代入得：
$$\frac{1}{\alpha} \ln(1+\alpha) = 1 - \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \cdots$$
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$
提示：展开到足够高阶，因为后面需要保留到 $\alpha$ 的一次项。
步骤 3/6
目标：将指数部分写成 $e$ 的幂形式
于是 $f(\alpha) = e^{1 - \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \cdots} = e \cdot e^{-\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \cdots}$。
公式：$e^{a+b} = e^a e^b$
提示：注意提取公因子 $e$，将指数中的常数项分离。
步骤 4/6
目标：展开指数函数
令 $u = -\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \cdots$，则 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \cdots$。展开到 $\alpha$ 的一次项：
$$u = -\frac{\alpha}{2} + O(\alpha^2), \quad u^2 = \frac{\alpha^2}{4} + O(\alpha^3)$$，所以 $e^u = 1 - \frac{\alpha}{2} + O(\alpha^2)$。
公式：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$
提示：注意 $u$ 中已有 $\alpha$ 的一次项，$u^2$ 贡献 $\alpha^2$ 项，因此只需展开到 $u$ 的一次项即可得到 $\alpha$ 的一次项。
步骤 5/6
目标：得到 $f(\alpha)$ 的展开式
因此 $f(\alpha) = e \left(1 - \frac{\alpha}{2} + O(\alpha^2)\right) = e - \frac{e}{2} \alpha + O(\alpha^2)$。
提示：注意 $O(\alpha^2)$ 表示高阶无穷小，在 $\alpha \to 0$ 时是 $o(\alpha)$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
于是 $f(\alpha) - e = -\frac{e}{2} \alpha + O(\alpha^2) = -\frac{e}{2} \alpha + o(\alpha)$，证毕。
提示：注意 $o(\alpha)$ 表示比 $\alpha$ 更高阶的无穷小，即 $\lim_{\alpha\to0} \frac{o(\alpha)}{\alpha}=0$。
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