大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
6．证明： $\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解不一致连续的定义
函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续，意味着存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$。等价地，存在两个点列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 使得 $|x_n - y_n| \to 0$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)|$ 不趋于 0。
提示：注意不一致连续的定义与一致连续相反，需要找到特定的点列。
步骤 2/6
目标：构造点列 $x_n$ 和 $y_n$
取 $x_n = \sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}}$，$y_n = \sqrt{2\pi n}$，其中 $n \in \mathbb{N}$。这样构造的目的是使得 $\sin(x_n^2) = 1$，$\sin(y_n^2) = 0$，从而函数值之差为 1。
公式：$x_n = \sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}}$，$y_n = \sqrt{2\pi n}$
提示：选择 $x_n$ 和 $y_n$ 使得 $\sin(x_n^2)$ 和 $\sin(y_n^2)$ 取不同的固定值，且 $|x_n - y_n|$ 很小。
步骤 3/6
目标：计算函数值之差
计算 $f(x_n) = \sin(x_n^2) = \sin\left(2\pi n + \frac{\pi}{2}\right) = 1$，$f(y_n) = \sin(y_n^2) = \sin(2\pi n) = 0$。因此 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1$，不趋于 0。
公式：$\sin\left(2\pi n + \frac{\pi}{2}\right) = 1$，$\sin(2\pi n) = 0$
提示：注意正弦函数的周期性，确保计算正确。
步骤 4/6
目标：计算 $|x_n - y_n|$
计算 $|x_n - y_n| = \sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2\pi n}$。分子有理化：$\frac{\left(\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2\pi n}\right)\left(\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2\pi n}\right)}{\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2\pi n}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2\pi n}}$。
公式：$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
提示：分子有理化是处理根号差的常用技巧，注意分母不为零。
步骤 5/6
目标：证明 $|x_n - y_n| \to 0$
当 $n \to \infty$ 时，分母 $\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2\pi n} \to \infty$，分子为常数 $\frac{\pi}{2}$，因此 $|x_n - y_n| \to 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2\pi n}} = 0$
提示：注意极限过程，分母趋于无穷大，分式趋于0。
步骤 6/6
目标：得出结论
存在点列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 满足 $|x_n - y_n| \to 0$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1$ 不趋于 0，因此 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：根据定义，只要找到一对点列即可证明不一致连续。
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