大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
7．$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，$\displaystyle h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y ; \\ f^{\prime}(x), & x=y .\end{array}\right.$ 证明：$h(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和定义
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，即 $f$ 有一阶导数且 $f'$ 连续。定义二元函数 $h(x,y)$ 为：
$$
h(x,y) = \begin{cases}
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y, \\
f'(x), & x = y.
\end{cases}
$$
要证明 $h(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续。
公式：h(x,y) = \begin{cases} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y \\ f'(x), & x=y \end{cases}
提示：注意定义中 $x=y$ 时用 $f'(x)$，而不是 $f'(y)$，但由对称性，实际上 $f'(x)=f'(y)$ 在 $x=y$ 时成立。
步骤 2/5
目标：分区域考虑连续性：对角线外
当 $x \neq y$ 时，$h(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$。由于 $f$ 连续，分子 $f(x)-f(y)$ 连续，分母 $x-y$ 连续且非零，因此 $h$ 作为连续函数的四则运算（除法）在 $x \neq y$ 的区域上连续。
公式：\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0), x_0\neq y_0} h(x,y) = \frac{f(x_0)-f(y_0)}{x_0-y_0} = h(x_0,y_0)
提示：这里分母不为零是连续性的关键，无需额外证明。
步骤 3/5
目标：分析对角线上的连续性：任取点 $(a,a)$
要证明 $h$ 在 $(a,a)$ 处连续，即证明 $\lim_{(x,y)\to (a,a)} h(x,y) = h(a,a) = f'(a)$。考虑任意序列 $(x_n,y_n)\to (a,a)$，分两种情形讨论：
- 若存在无穷多个 $n$ 使得 $x_n = y_n$，则在这些点上 $h(x_n,y_n)=f'(x_n)$，由 $f'$ 连续得 $f'(x_n)\to f'(a)$。
- 若 $x_n \neq y_n$，则 $h(x_n,y_n)=\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}$。
公式：\lim_{(x,y)\to (a,a)} h(x,y) = f'(a)
提示：需要处理所有趋近方式，包括沿对角线和非对角线的路径。
步骤 4/5
目标：利用微分中值定理处理非对角线情形
对于 $x_n \neq y_n$，由微分中值定理，存在介于 $x_n$ 与 $y_n$ 之间的 $\xi_n$，使得
$$
\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n} = f'(\xi_n).
$$
由于 $(x_n,y_n)\to (a,a)$，有 $\xi_n \to a$。又因为 $f'$ 连续，所以 $f'(\xi_n) \to f'(a)$。因此无论 $x_n=y_n$ 还是 $x_n\neq y_n$，都有 $h(x_n,y_n)\to f'(a)$。
公式：\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n} = f'(\xi_n), \quad \xi_n \text{ 介于 } x_n \text{ 与 } y_n \text{ 之间}
提示：中值定理要求 $x_n \neq y_n$，且 $f$ 可微，这里 $f$ 连续可微保证了中值定理适用。
步骤 5/5
目标：综合结论
由以上讨论，$h$ 在 $x \neq y$ 的区域上连续，在对角线 $x=y$ 上的任意点 $(a,a)$ 处也连续（因为极限等于函数值），因此 $h(x,y)$ 在整个 $\mathbb{R}^2$ 上连续。
公式：\forall (a,a)\in\mathbb{R}^2, \lim_{(x,y)\to (a,a)} h(x,y)=h(a,a)
提示：连续性要求在所有点处成立，这里已覆盖所有点。
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