大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
8．$a, b$ 为正常数，求由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 x+18 y$ 所围成的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：移项并整理方程
将原方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2x+18y$ 移项，得到 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - 2x + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 18y = 0$。
提示：注意移项时符号变化，不要遗漏项。
步骤 2/6
目标：分组并提取系数
将含 $x$ 和 $y$ 的项分组，并提取系数：$\frac{1}{a^{2}}(x^{2} - 2a^{2}x) + \frac{1}{b^{2}}(y^{2} - 18b^{2}y) = 0$。
提示：提取系数时，注意 $2x$ 乘以 $a^{2}$ 得到 $2a^{2}x$，类似处理 $y$ 项。
步骤 3/6
目标：配方
对 $x$ 和 $y$ 分别配方：
$\frac{1}{a^{2}}[(x - a^{2})^{2} - a^{4}] + \frac{1}{b^{2}}[(y - 9b^{2})^{2} - 81b^{4}] = 0$。
公式：$(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2$
提示：配方时，一次项系数的一半平方要正确，注意 $a^{2}$ 和 $b^{2}$ 是常数。
步骤 4/6
目标：化简为标准椭圆方程
将常数项移到右边：
$\frac{(x - a^{2})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - 9b^{2})^{2}}{b^{2}} = a^{2} + 81b^{2}$。
提示：注意右边常数项是 $a^{4}/a^{2} + 81b^{4}/b^{2} = a^{2} + 81b^{2}$。
步骤 5/6
目标：确定椭圆参数
该方程表示椭圆，中心为 $(a^{2}, 9b^{2})$，半长轴 $A = a\sqrt{a^{2}+81b^{2}}$，半短轴 $B = b\sqrt{a^{2}+81b^{2}}$。
公式：椭圆标准方程 $\frac{(x-h)^2}{A^2} + \frac{(y-k)^2}{B^2} = 1$，其中 $A$ 和 $B$ 为半轴长。
提示：注意 $A$ 和 $B$ 分别对应 $x$ 和 $y$ 的分母开方，但这里分母是 $a^{2}$ 和 $b^{2}$，所以半轴长要乘以 $\sqrt{a^{2}+81b^{2}}$。
步骤 6/6
目标：计算椭圆面积
椭圆面积公式为 $\pi A B$，代入得：
$\pi \cdot a\sqrt{a^{2}+81b^{2}} \cdot b\sqrt{a^{2}+81b^{2}} = \pi a b (a^{2}+81b^{2})$。
公式：椭圆面积 $S = \pi ab$，其中 $a,b$ 为半长轴和半短轴。
提示：注意面积公式中的 $a,b$ 是半轴长，不要与题目中的常数 $a,b$ 混淆。
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