大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
9．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：通分合并
将原极限表达式通分：
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cot x}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - x \cot x}{x^2}.$$
公式：$$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$
提示：注意通分时不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：化简表达式
将 $\cot x$ 写为 $\frac{\cos x}{\sin x}$：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^2 \sin x}.$$
提示：注意分子通分时，分母 $\sin x$ 要乘到整个分子上。
步骤 3/5
目标：等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此分母中的 $\sin x$ 可替换为 $x$：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^3}.$$
公式：$$\sin x \sim x \quad (x \to 0)$$
提示：等价无穷小替换只能在乘除因子中进行，此处分母是乘积形式，可以替换。注意分子不能直接替换。
步骤 4/5
目标：泰勒展开
将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $x=0$ 处展开：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2).$$
代入分子：
$$\sin x - x \cos x = \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x \left( 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) = x - \frac{x^3}{6} - x + \frac{x^3}{2} + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3).$$
公式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$
提示：展开时注意阶数，分子需要展开到 $x^3$ 项，因为分母是 $x^3$。注意 $o(x^3)$ 表示高阶无穷小。
步骤 5/5
目标：求极限
将展开结果代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{3} + \frac{o(x^3)}{x^3} \right) = \frac{1}{3}.$$
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^3)}{x^3} = 0$$
提示：高阶无穷小除以 $x^3$ 的极限为0，不要忽略。
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