大连理工大学 2024年数学分析第0题

被积函数为 $f(x)=\frac{x}{1+x^6\sin^2 x}$。分母中 $x^6\sin^2 x$ 在大多数点很大，使函数值很小，但在 $\sin x=0$ 的点（即 $x=k\pi$，$k$ 为正整数）处分母为 $1$，函数值约为 $x$，可能引起发散。因此需要重点处理这些点附近的积分。

将积分拆分为 $\int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{+\infty}$。对于 $[0,1]$ 区间，当 $x$ 很小时，$\sin x \sim x$，分母 $\sim 1+x^8$，被积函数 $\sim x$，在 $0$ 附近可积，因此 $\int_0^1$ 收敛。

令 $x=n\pi+t$，其中 $|t|$ 很小，则 $\sin x = \sin(n\pi+t)=(-1)^n\sin t \sim t$，故 $\sin^2 x \sim t^2$。在 $|t|\le \frac{\pi}{2}$ 内，有 $f(x)\approx \frac{n\pi}{1+(n\pi)^6 t^2}$。考虑小区间 $[n\pi-\delta, n\pi+\delta]$ 上的积分，取 $\delta=\frac{\pi}{2}$。

局部积分近似为 $\int_{-\delta}^{\delta} \frac{n\pi}{1+(n\pi)^6 t^2} dt$。令 $u=(n\pi)^3 t$，则 $dt = \frac{du}{(n\pi)^3}$，积分变为 $\frac{1}{(n\pi)^2} \int_{-(n\pi)^3\delta}^{(n\pi)^3\delta} \frac{du}{1+u^2}$。当 $\delta=\frac{\pi}{2}$ 时，$A_n=(n\pi)^3\delta \to +\infty$，$\int_{-A_n}^{A_n} \frac{du}{1+u^2} \to \pi$，因此局部积分 $\le \frac{C}{n^2}$（$C$ 为常数），而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛。

在 $[1,+\infty)$ 中除去所有 $[n\pi-\pi/2, n\pi+\pi/2]$ 的区间后，剩下的部分中 $|\sin x| \ge \sin(\pi/2-1/2)$ 有正下界，设为 $c>0$，则 $f(x) \le \frac{x}{1+c x^6} \sim \frac{1}{c x^5}$，而 $\int_1^\infty \frac{1}{x^5} dx$ 收敛，因此这部分积分收敛。

原积分 $\int_0^{+\infty} f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx + \int_1^{+\infty} f(x)dx$。$\int_0^1$ 收敛；$\int_1^{+\infty}$ 可分解为各 $n\pi$ 附近的小区间（贡献 $\sim 1/n^2$，级数收敛）和剩余部分（被 $1/x^5$ 控制，积分收敛），因此整体收敛。