大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，$f(0)=f(1)=f(2)=0$ ．证明：对任意的 $x \in(0,2)$ ，存在 $c \in(0,2)$ ，使得
$$
f(x)=\frac{1}{6} x(x-1)(x-2) f^{\prime \prime \prime}(c)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数
固定 $x \in (0,2)$ 且 $x \neq 0,1,2$，定义辅助函数
$$g(t) = f(t) - \frac{f(x)}{x(x-1)(x-2)} t(t-1)(t-2).$$
提示：注意分母 $x(x-1)(x-2)$ 不为零，当 $x=1$ 时需单独处理。
步骤 2/7
目标：验证辅助函数的零点
由 $f(0)=f(1)=f(2)=0$ 及 $g(x)=0$，得 $g(0)=g(1)=g(2)=g(x)=0$，即 $g(t)$ 在 $[0,2]$ 上有四个零点：$0, x, 1, 2$（若 $x=1$，则零点重复，需单独处理）。
提示：注意 $x$ 可能等于 $1$，此时零点个数不足，需单独证明。
步骤 3/7
目标：应用罗尔定理得到一阶导数的零点
由罗尔定理，在相邻零点之间 $g'(t)$ 至少有一个零点，因此 $g'(t)$ 在 $(0,2)$ 内至少有三个零点，设为 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$，满足 $0<\xi_1<\min(x,1)<\xi_2<\max(x,1)<\xi_3<2$。
公式：罗尔定理：若 $g(a)=g(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
提示：确保零点顺序正确，注意 $x$ 与 $1$ 的大小关系。
步骤 4/7
目标：再次应用罗尔定理得到二阶导数的零点
对 $g'(t)$ 在 $\xi_1,\xi_2$ 和 $\xi_2,\xi_3$ 上分别应用罗尔定理，得 $g''(t)$ 在 $(0,2)$ 内至少有两个零点，设为 $\eta_1, \eta_2$，满足 $\xi_1<\eta_1<\xi_2<\eta_2<\xi_3$。
提示：注意每次应用罗尔定理需要函数在闭区间连续、开区间可导。
步骤 5/7
目标：第三次应用罗尔定理得到三阶导数的零点
对 $g''(t)$ 在 $\eta_1,\eta_2$ 上应用罗尔定理，得 $g'''(t)$ 在 $(0,2)$ 内至少有一个零点，设为 $c$，即 $g'''(c)=0$。
提示：确保 $c \in (0,2)$。
步骤 6/7
目标：计算三阶导数并代入零点
计算 $g'''(t)$：
$$g(t) = f(t) - \frac{f(x)}{x(x-1)(x-2)} t(t-1)(t-2),$$
$$g'''(t) = f'''(t) - \frac{f(x)}{x(x-1)(x-2)} \cdot 6.$$
由 $g'''(c)=0$ 得
$$f'''(c) = \frac{6f(x)}{x(x-1)(x-2)}.$$
公式：$t(t-1)(t-2)$ 的三阶导数为 $6$。
提示：注意求导时系数不要遗漏。
步骤 7/7
目标：整理得到结论
由上式解得
$$f(x) = \frac{1}{6} x(x-1)(x-2) f'''(c).$$
当 $x=1$ 时，$f(1)=0$，且 $x(x-1)(x-2)=0$，等式两边均为 $0$，结论也成立。因此对任意 $x \in (0,2)$，存在 $c \in (0,2)$ 使得等式成立。
提示：不要忘记 $x=1$ 的特殊情况。
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