大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，求证：
$$
\max _{x \in[a, b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a}\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定最大值点
设 $M = \max_{x \in [a, b]} f(x)$，则存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $f(x_0) = M$。
提示：注意最大值点可能不唯一，但只需存在一个即可。
步骤 2/6
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$。因此 $|f(\xi)| = \frac{1}{b-a} \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$
提示：注意积分中值定理要求 $f$ 连续，这里 $f$ 连续可微，满足条件。
步骤 3/6
目标：用积分表示函数值
对任意 $x \in [a, b]$，由牛顿-莱布尼茨公式，$f(x) = f(\xi) + \int_\xi^x f'(t) \, dt$。
公式：牛顿-莱布尼茨公式：$f(x) = f(\xi) + \int_\xi^x f'(t) \, dt$
提示：注意积分上下限，$\xi$ 是固定点，$x$ 是变量。
步骤 4/6
目标：放缩绝对值
取绝对值并利用三角不等式：$|f(x)| \leq |f(\xi)| + \left| \int_\xi^x f'(t) \, dt \right| \leq |f(\xi)| + \int_a^b |f'(t)| \, dt$。
公式：三角不等式：$|a+b| \leq |a|+|b|$；积分绝对值不等式：$\left| \int_\xi^x f'(t) \, dt \right| \leq \int_\xi^x |f'(t)| \, dt \leq \int_a^b |f'(t)| \, dt$
提示：注意 $\int_\xi^x |f'(t)| \, dt \leq \int_a^b |f'(t)| \, dt$ 是因为积分区间是 $[a,b]$ 的子区间。
步骤 5/6
目标：代入最大值点
由于不等式对任意 $x$ 成立，特别取 $x = x_0$，得 $M = f(x_0) \leq |f(x_0)| \leq |f(\xi)| + \int_a^b |f'(t)| \, dt$。
提示：注意 $f(x_0)=M$，但 $M$ 可能为负，而 $|f(x_0)| \geq f(x_0)$，所以 $M \leq |f(x_0)|$。
步骤 6/6
目标：代入 $|f(\xi)|$ 表达式
将 $|f(\xi)| = \frac{1}{b-a} \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|$ 代入，即得 $M \leq \frac{1}{b-a} \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| + \int_a^b |f'(x)| \, dx$。
提示：注意将积分变量 $t$ 换回 $x$。
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