大连理工大学 2024年数学分析第0题

考虑函数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(2^n x)}{n!}$。对每个固定的 $n$，有 $\frac{d}{dx}\frac{\sin(2^n x)}{n!} = \frac{2^n \cos(2^n x)}{n!}$，其绝对值不超过 $\frac{2^n}{n!}$。由于 $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!}=e^2$ 收敛，由Weierstrass M-判别法知，导数级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，故可逐项求导得 $f'(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n \cos(2^n x)}{n!}$。类似地，对任意正整数 $k$，第 $k$ 阶导数为 $f^{(k)}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{nk}}{n!}\cdot(\text{正弦或余弦，幅角为 }2^n x)$，每项绝对值不超过 $\frac{2^{nk}}{n!}$，而 $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{nk}}{n!}=e^{2^k}$ 收敛，故级数一致收敛，从而 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上任意阶可导。

由于 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(2^n x)}{n!}$，求导 $m$ 次后代入 $x=0$。$\sin$ 的奇数阶导数在0处为 $\pm1$，偶数阶导数为0。具体地：若 $m$ 为偶数，则 $f^{(m)}(0)=0$；若 $m$ 为奇数，设 $m=2k+1$，则 $\frac{d^{2k+1}}{dx^{2k+1}}\sin(2^n x)\big|_{x=0}=(-1)^k 2^{n(2k+1)}$，于是 $f^{(2k+1)}(0)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^k 2^{n(2k+1)}}{n!}=(-1)^k e^{2^{2k+1}}$。

假设存在幂级数 $\sum_{m=0}^\infty a_m x^m$ 在 $\mathbb{R}$ 上收敛到 $f(x)$，则收敛半径无穷大，且系数必为 $a_m = \frac{f^{(m)}(0)}{m!}$。由上一步，$a_{2k}=0$，$a_{2k+1}=\frac{(-1)^k e^{2^{2k+1}}}{(2k+1)!}$。

计算收敛半径 $R = \frac{1}{\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}}$。考虑奇数下标：$|a_{2k+1}| = \frac{e^{2^{2k+1}}}{(2k+1)!}$。由斯特林公式 $(2k+1)! \sim \sqrt{2\pi(2k+1)}\left(\frac{2k+1}{e}\right)^{2k+1}$，分子 $e^{2^{2k+1}}$ 是指数型增长，远快于阶乘的 $(2k+1)^{2k+1}$ 型增长，故 $\sqrt[2k+1]{|a_{2k+1}|} \to \infty$，从而 $\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}=\infty$，收敛半径 $R=0$，与假设矛盾。因此 $f$ 不能在 $\mathbb{R}$ 上展开为幂级数。