大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．已知 $y=f(x, t)$ ，其中 $t$ 是由 $F(x, y, t)=0$ 确定的关于 $x, y$ 的隐函数，$f$ 和 $F$ 有连续的一阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数关系
已知 $y = f(x, t)$，且 $t$ 由 $F(x, y, t) = 0$ 确定为 $x, y$ 的隐函数，即 $t = t(x, y)$。注意 $y$ 是 $x$ 的函数，$t$ 依赖于 $x$ 和 $y$。
提示：注意隐函数 $t$ 的自变量包括 $x$ 和 $y$，而 $y$ 又是 $x$ 的函数，因此 $t$ 最终是 $x$ 的复合函数。
步骤 2/7
目标：对 $y = f(x, t)$ 求导
将 $y = f(x, t)$ 两边对 $x$ 求导，注意 $t$ 是 $x$ 的函数，利用链式法则：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{dt}{dx}.$$
公式：链式法则：$\frac{d}{dx} f(x, t(x)) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} \frac{dt}{dx}$
提示：注意 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 是 $f$ 对第一个变量的偏导，$\frac{dt}{dx}$ 是 $t$ 对 $x$ 的全导数。
步骤 3/7
目标：对 $F(x, y, t) = 0$ 求导
将 $F(x, y, t) = 0$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 和 $t$ 都是 $x$ 的函数：
$$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial F}{\partial t} \cdot \frac{dt}{dx} = 0.$$
公式：全导数公式：$\frac{d}{dx} F(x, y(x), t(x)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial F}{\partial t} \frac{dt}{dx}$
提示：不要遗漏 $\frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$ 项，因为 $y$ 是 $x$ 的函数。
步骤 4/7
目标：解出 $\frac{dt}{dx}$
从第三步的方程中解出 $\frac{dt}{dx}$：
$$\frac{dt}{dx} = -\frac{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} }{ \frac{\partial F}{\partial t} },$$ 假设 $\frac{\partial F}{\partial t} \neq 0$。
提示：分母 $\frac{\partial F}{\partial t}$ 不能为零，否则隐函数定理不适用。
步骤 5/7
目标：代入消去 $\frac{dt}{dx}$
将第四步的 $\frac{dt}{dx}$ 代入第二步的方程：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \left( -\frac{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} }{ \frac{\partial F}{\partial t} } \right).$$
提示：代入时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 6/7
目标：整理方程，合并 $\frac{dy}{dx}$ 项
将含有 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到左边，常数项移到右边：
$$\frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{ \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} }{ \frac{\partial F}{\partial t} } = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{ \frac{\partial F}{\partial x} }{ \frac{\partial F}{\partial t} }.$$
提示：注意移项时符号变化，左边两项合并时提取公因子 $\frac{dy}{dx}$。
步骤 7/7
目标：求解 $\frac{dy}{dx}$
将左边通分并提取 $\frac{dy}{dx}$：
$$\frac{dy}{dx} \left( 1 + \frac{ \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y} }{ \frac{\partial F}{\partial t} } \right) = \frac{ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t} - \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x} }{ \frac{\partial F}{\partial t} }.$$ 两边乘以 $\frac{\partial F}{\partial t}$ 并整理得：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t} - \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x} }{ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y} }.$$
提示：最终结果分母不能为零，且注意偏导数的顺序。
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