大连理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=2 ; \\ z^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 上距离原点最近的点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：建立目标函数
设曲线上的点为 $(x, y, z)$，则距离原点的距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。
公式：d^2 = x^2 + y^2 + z^2
提示：注意是距离平方，避免开方带来的复杂性。
步骤 2/8
目标：利用约束条件简化目标函数
由约束条件 $z^2 = x^2 + y^2$，代入 $d^2$ 得 $d^2 = (x^2 + y^2) + z^2 = z^2 + z^2 = 2z^2$。因此问题转化为在约束条件下求 $z^2$ 的最小值。
公式：d^2 = 2z^2
提示：注意代入时不要遗漏项。
步骤 3/8
目标：利用另一个约束条件建立不等式
由 $x+y-z=2$ 得 $x+y = z+2$。又 $z^2 = x^2 + y^2$，利用不等式 $(x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2)$，即 $(z+2)^2 \leq 2z^2$。
公式：(x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2)
提示：注意不等式方向，这是由平方和与和的平方关系得到的。
步骤 4/8
目标：解不等式求z的范围
展开不等式：$z^2 + 4z + 4 \leq 2z^2$，整理得 $z^2 - 4z - 4 \geq 0$。解二次不等式得 $z \leq 2 - 2\sqrt{2}$ 或 $z \geq 2 + 2\sqrt{2}$。
公式：z^2 - 4z - 4 \geq 0
提示：注意二次不等式求解时，判别式要正确计算。
步骤 5/8
目标：确定z的最小值
由于 $d^2 = 2z^2$，且 $z$ 的绝对值越大，$z^2$ 越大。因此最小值在 $z$ 的绝对值较小的边界取得，即 $z = 2 - 2\sqrt{2}$（注意 $2 - 2\sqrt{2} < 0$，但 $z^2$ 仍为正）。
提示：注意比较 $z$ 的两个可能取值对应的 $z^2$ 大小，选择较小的。
步骤 6/8
目标：计算z^2和x+y
计算 $z^2 = (2 - 2\sqrt{2})^2 = 4(1 - \sqrt{2})^2 = 4(3 - 2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}$。由 $x+y = z+2 = 4 - 2\sqrt{2}$。
提示：注意平方展开时不要出错。
步骤 7/8
目标：求解x和y
已知 $x+y = 4 - 2\sqrt{2}$，$x^2+y^2 = 12 - 8\sqrt{2}$。利用 $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$，得 $2xy = (4-2\sqrt{2})^2 - (12-8\sqrt{2}) = (16 - 16\sqrt{2} + 8) - (12-8\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}$，所以 $xy = 6 - 4\sqrt{2}$。注意 $6 - 4\sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$。因此 $x, y$ 是方程 $t^2 - (4-2\sqrt{2})t + (2-\sqrt{2})^2 = 0$ 的根，判别式 $\Delta = (4-2\sqrt{2})^2 - 4(2-\sqrt{2})^2 = 0$，故 $x = y = 2 - \sqrt{2}$。
公式：t^2 - (4-2\sqrt{2})t + (2-\sqrt{2})^2 = 0
提示：注意判别式为0，说明有重根，即x=y。
步骤 8/8
目标：得出最近点坐标
因此最近点为 $(2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}, 2-2\sqrt{2})$。
提示：最后检查是否满足原曲线方程。
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