大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、在点 $(0,0)$ 的邻域内，将下列函数按带皮亚诺型余项展开成泰勒公式到二阶：
$$
f(x, y)=\frac{\cos x}{\cos y}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开分子和分母
将分子 $\cos x$ 和分母 $\cos y$ 在 $x=0$ 和 $y=0$ 处分别展开到二阶带皮亚诺余项：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad \cos y = 1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2).$$
公式：$$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$$
提示：注意展开到二阶，余项为 $o(t^2)$，不要遗漏高阶项。
步骤 2/6
目标：写出函数的表达式
将展开式代入 $f(x,y) = \frac{\cos x}{\cos y}$，得到：
$$f(x,y) = \frac{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)}.$$
提示：注意分子和分母的余项不同，需分别处理。
步骤 3/6
目标：处理分母的倒数
令 $u = \frac{y^2}{2} + o(y^2)$，则分母为 $1-u$。利用几何级数展开 $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots$，由于只需到二阶，取前两项：
$$\frac{1}{1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)} = 1 + \frac{y^2}{2} + o(y^2).$$
公式：$$\frac{1}{1-u} = 1+u+u^2+\cdots$$
提示：注意 $u$ 中包含 $o(y^2)$，但展开后 $u^2$ 为四阶，可忽略，因此只需保留到 $u$ 项。
步骤 4/6
目标：相乘得到初步展开
将分子展开式与分母的倒数展开式相乘：
$$f(x,y) = \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\left(1 + \frac{y^2}{2} + o(y^2)\right).$$
提示：注意乘法时，不同余项相乘会产生高阶项，但只需保留到二阶。
步骤 5/6
目标：展开乘积并忽略高阶项
展开乘积，忽略三阶及以上的项（包括 $o(x^2)\cdot o(y^2)$ 等）：
$$f(x,y) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{y^2}{2} + \left(-\frac{x^2}{2}\right)\cdot 1 + \text{高阶项} = 1 + \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} + o(x^2+y^2).$$
提示：注意 $o(x^2)$ 与 $\frac{y^2}{2}$ 相乘为 $o(x^2 y^2)$，是四阶，可归入 $o(x^2+y^2)$。
步骤 6/6
目标：整理最终结果
将结果按顺序整理，得到在 $(0,0)$ 处的二阶泰勒展开：
$$f(x,y) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + o(x^2+y^2).$$
提示：最终结果中 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数符号相反，注意不要写错。
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