大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
10、证明：函数 $f(x)=x \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解不一致连续的定义
函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续，当且仅当存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$。等价地，存在两个点列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 使得 $|x_n - y_n| \to 0$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)|$ 不趋于 $0$。
提示：注意不一致连续的定义是存在某个正数 $\varepsilon_0$，而不是对任意 $\varepsilon$。
步骤 2/5
目标：构造合适的点列
取 $x_n = 2n\pi + \frac{1}{n}$，$y_n = 2n\pi$，其中 $n \in \mathbb{N}^+$。则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$ 当 $n \to \infty$。
提示：选择 $2n\pi$ 是为了利用 $\sin(2n\pi)=0$，而加上 $\frac{1}{n}$ 是为了使 $\sin$ 值非零且渐近于 $\frac{1}{n}$。
步骤 3/5
目标：计算函数值差
计算 $f(x_n) = (2n\pi + \frac{1}{n}) \sin(2n\pi + \frac{1}{n}) = (2n\pi + \frac{1}{n}) \sin\frac{1}{n}$，$f(y_n) = (2n\pi) \sin(2n\pi) = 0$。因此 $|f(x_n) - f(y_n)| = \left| (2n\pi + \frac{1}{n}) \sin\frac{1}{n} \right|$。
公式：$\sin(2n\pi + \theta) = \sin\theta$
提示：注意 $\sin(2n\pi + \frac{1}{n}) = \sin\frac{1}{n}$，不要误写成 $\sin(2n\pi)$。
步骤 4/5
目标：利用等价无穷小估计
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，故 $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$。于是 $|f(x_n) - f(y_n)| \sim \left| (2n\pi + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{n} \right| = 2\pi + \frac{1}{n^2} \to 2\pi$。
公式：$\sin\theta \sim \theta$ 当 $\theta \to 0$
提示：等价无穷小替换时要注意 $\sin\frac{1}{n}$ 与 $\frac{1}{n}$ 的差是高阶无穷小，不影响极限。
步骤 5/5
目标：得出不一致连续的结论
由于 $|f(x_n) - f(y_n)| \to 2\pi \neq 0$，而 $|x_n - y_n| \to 0$，根据定义，函数 $f(x)=x\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：注意极限 $2\pi$ 是一个非零常数，因此 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于 $0$。
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