大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、设 $\varphi(x)=\int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^{2}+x t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别问题类型并回顾求导法则
题目要求求 $\varphi'(0)$，其中 $\varphi(x)=\int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^2+xt} \, dt$。这是一个含参变量积分的求导问题，需要应用莱布尼茨公式：若 $\varphi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) \, dt$，则 $\varphi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x} \, dt + f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x)$。
公式：莱布尼茨公式：$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) \, dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x} \, dt + f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a'(x)$
提示：注意积分上下限也是 $x$ 的函数，求导时不能忽略边界项。
步骤 2/6
目标：计算被积函数对 $x$ 的偏导数
被积函数为 $f(x,t)=e^{t^2+xt}$，对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial}{\partial x} e^{t^2+xt} = e^{t^2+xt} \cdot t = t e^{t^2+xt}$。
公式：$\frac{\partial}{\partial x} e^{t^2+xt} = t e^{t^2+xt}$
提示：注意指数函数的求导规则，不要遗漏因子 $t$。
步骤 3/6
目标：应用莱布尼茨公式写出 $\varphi'(x)$
代入公式：$\varphi'(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} t e^{t^2+xt} \, dt + e^{(\cos x)^2 + x \cos x} \cdot (-\sin x) - e^{(\sin x)^2 + x \sin x} \cdot \cos x$。
公式：$\varphi'(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} t e^{t^2+xt} \, dt - \sin x \, e^{\cos^2 x + x \cos x} - \cos x \, e^{\sin^2 x + x \sin x}$
提示：注意 $\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$，$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$，符号不要弄错。
步骤 4/6
目标：代入 $x=0$ 简化表达式
代入 $x=0$：$\sin 0=0$，$\cos 0=1$，则 $\varphi'(0) = \int_{0}^{1} t e^{t^2} \, dt - 0 \cdot e^{1+0} - 1 \cdot e^{0+0} = \int_{0}^{1} t e^{t^2} \, dt - 1$。
公式：$\varphi'(0) = \int_0^1 t e^{t^2} \, dt - 1$
提示：代入时注意 $e^{\cos^2 0 + 0 \cdot \cos 0}=e^{1}$，但乘以 $\sin 0=0$ 后为0；$e^{\sin^2 0 + 0 \cdot \sin 0}=e^0=1$，乘以 $\cos 0=1$ 得1。
步骤 5/6
目标：计算积分 $\int_0^1 t e^{t^2} \, dt$
令 $u=t^2$，则 $du=2t \, dt$，$t \, dt = \frac{1}{2} du$。当 $t=0$ 时 $u=0$，$t=1$ 时 $u=1$。积分变为 $\frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2}(e-1)$。
公式：$\int_0^1 t e^{t^2} \, dt = \frac{1}{2}(e-1)$
提示：换元时注意积分限的变换，不要忘记 $\frac{1}{2}$ 因子。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将积分结果代入：$\varphi'(0) = \frac{1}{2}(e-1) - 1 = \frac{e-1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{e-3}{2}$。
公式：$\varphi'(0) = \frac{e-3}{2}$
提示：最终结果化简为 $\frac{e-3}{2}$，注意不要写成 $\frac{e-1}{2}-1$ 不化简。
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