大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 条件收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别级数类型并设定通项
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$，是交错级数。令 $a_n = \sqrt[n]{n}-1$，则级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$。
提示：注意通项 $a_n$ 必须非负，这里 $\sqrt[n]{n} \geq 1$，所以 $a_n \geq 0$。
步骤 2/8
目标：证明 $a_n$ 单调递减
考虑函数 $f(x)=x^{1/x}=e^{\frac{\ln x}{x}}$，求导得 $f'(x)=x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}$。当 $x>e$ 时，$f'(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(e,\infty)$ 上单调递减。因此当 $n\geq 3$ 时，$\sqrt[n]{n}$ 单调递减，从而 $a_n=\sqrt[n]{n}-1$ 也单调递减。
公式：$f'(x)=x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}$
提示：注意单调性从 $n=3$ 开始，前几项不影响级数收敛性。
步骤 3/8
目标：证明 $a_n$ 趋于零
计算极限：$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (\sqrt[n]{n}-1) = 0$，因为 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$
提示：常用极限 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1$ 需熟记。
步骤 4/8
目标：应用莱布尼茨判别法证明收敛
由以上两步，$a_n$ 单调递减且趋于零，根据莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ 收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum(-1)^{n-1}a_n$ 收敛。
提示：莱布尼茨判别法只给出收敛性，不给出绝对收敛性。
步骤 5/8
目标：考虑绝对收敛性：分析正项级数
绝对收敛性需考察 $\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n-1}a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt[n]{n}-1)$。
提示：注意去掉交错符号后为正项级数。
步骤 6/8
目标：利用等价无穷小简化通项
当 $n\to\infty$ 时，$\sqrt[n]{n}-1 = e^{\frac{\ln n}{n}}-1 \sim \frac{\ln n}{n}$，因为 $e^x-1\sim x$。
公式：$e^x-1\sim x$ 当 $x\to 0$
提示：注意 $\frac{\ln n}{n}\to 0$，所以等价无穷小成立。
步骤 7/8
目标：判断正项级数的敛散性
比较判别法：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}$ 发散（例如与 $\sum \frac{1}{n}$ 比较，或积分判别法）。由于 $\sqrt[n]{n}-1 \sim \frac{\ln n}{n}$，且 $\frac{\ln n}{n}$ 为正项，故 $\sum (\sqrt[n]{n}-1)$ 发散。
公式：比较判别法：若 $a_n\sim b_n$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
提示：常用结论：$\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散，可用积分判别法证明。
步骤 8/8
目标：得出结论
原级数收敛但不绝对收敛，因此条件收敛。
提示：条件收敛的定义：收敛但不绝对收敛。
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