大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n}$ ，且对一切 $n, p \in \mathbb{N}_{+}$成立，问数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？
（2）当 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n^{2}}$ 时，上述结论又如何？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件并构造反例
对于（1），条件为 $|a_{n+p}-a_n| \leq \frac{p}{n}$。考虑数列 $a_n = \ln n$。验证：$|\ln(n+p)-\ln n| = \ln(1+\frac{p}{n}) \leq \frac{p}{n}$（因为 $\ln(1+x) \leq x$ 对 $x \geq 0$ 成立）。但 $\ln n \to +\infty$，发散。故数列不一定收敛。
公式：$\ln(1+x) \leq x$
提示：注意反例需满足条件但发散，$\ln n$ 是常用反例。
步骤 2/7
目标：判断（1）的结论
由于存在反例，数列不一定收敛。因此（1）的结论是：不一定收敛。
提示：不要误以为条件足够强，需验证反例。
步骤 3/7
目标：分析（2）的条件
对于（2），条件为 $|a_{n+p}-a_n| \leq \frac{p}{n^2}$。特别地，取 $p=1$ 得 $|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{1}{n^2}$。
公式：$|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{1}{n^2}$
提示：注意 $p=1$ 是常用技巧。
步骤 4/7
目标：利用级数收敛性证明柯西列
对任意 $m > n$，有 $|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |a_{k+1}-a_k| \leq \sum_{k=n}^{m-1} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2}$。而级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ 收敛，故 $\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \to 0$ 当 $n \to \infty$。
公式：$\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \to 0$
提示：使用级数收敛性时，需说明余项趋于0。
步骤 5/7
目标：用积分放缩余项
进一步，$\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \leq \int_{n-1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{n-1}$。因此 $|a_m - a_n| \leq \frac{1}{n-1}$。
公式：$\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{n-1}$
提示：积分放缩时注意积分下限为 $n-1$ 以保证不等式方向。
步骤 6/7
目标：构造柯西列的证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil + 1$，则当 $m > n \geq N$ 时，$|a_m - a_n| \leq \frac{1}{n-1} \leq \frac{1}{N-1} < \varepsilon$。故 $\{a_n\}$ 是柯西列，从而收敛。
公式：$N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil + 1$
提示：注意 $N$ 的取法要保证 $\frac{1}{N-1} < \varepsilon$。
步骤 7/7
目标：总结（2）的结论
因此，当条件为 $|a_{n+p}-a_n| \leq \frac{p}{n^2}$ 时，数列必收敛。
提示：与（1）对比，条件更强导致收敛。
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