大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6、当 $x \in(0, \pi)$ 时，证明： $4(1-\cos x)<x(x+\sin x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数
令 $f(x)=x(x+\sin x)-4(1-\cos x)$，则 $f(0)=0$。要证明原不等式，只需证明在 $(0,\pi)$ 上 $f(x)<0$。
提示：注意 $f(0)=0$，为后续利用单调性提供基础。
步骤 2/6
目标：求一阶导数
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=2x+\sin x+x\cos x-4\sin x=2x-3\sin x+x\cos x$。
公式：$(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$
提示：注意 $4(1-\cos x)$ 的导数为 $4\sin x$，符号不要弄错。
步骤 3/6
目标：求二阶导数
对 $f'(x)$ 再求导：$f''(x)=2-3\cos x+\cos x-x\sin x=2-2\cos x-x\sin x=2(1-\cos x)-x\sin x$。
公式：$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$
提示：注意 $x\cos x$ 的导数为 $\cos x - x\sin x$。
步骤 4/6
目标：放缩二阶导数
利用不等式 $1-\cos x < \frac{x^2}{2}$（由 $\cos x > 1-\frac{x^2}{2}$ 得到），代入得 $f''(x) < 2\cdot\frac{x^2}{2} - x\sin x = x^2 - x\sin x = x(x-\sin x)$。
公式：$\cos x > 1-\frac{x^2}{2}$ 对 $x\in(0,\pi)$ 成立
提示：注意放缩方向：$1-\cos x < \frac{x^2}{2}$，所以 $2(1-\cos x) < x^2$，从而得到上界。
步骤 5/6
目标：判断二阶导数符号
在 $(0,\pi)$ 上，$x>\sin x$，因此 $x(x-\sin x)>0$，但 $f''(x) < x(x-\sin x)$ 不能直接得出 $f''(x)<0$。实际上，由于 $x-\sin x>0$，$x(x-\sin x)>0$，而 $f''(x)$ 小于一个正数，无法确定符号。需要重新分析：直接利用 $f''(x)=2(1-\cos x)-x\sin x$，在 $(0,\pi)$ 上，$1-\cos x \ge 0$，$\sin x >0$，但无法直接判断。实际上，原解答中 $f''(x)<0$ 的推导有误，正确做法是：令 $g(x)=2(1-\cos x)-x\sin x$，求导得 $g'(x)=2\sin x - \sin x - x\cos x = \sin x - x\cos x$，再求导得 $g''(x)=\cos x - \cos x + x\sin x = x\sin x >0$，故 $g'(x)$ 递增，$g'(0)=0$，所以 $g'(x)>0$，$g(x)$ 递增，$g(0)=0$，故 $g(x)>0$，即 $f''(x)>0$。这与原解答矛盾。因此原解答有误，正确证明需另寻方法。但题目要求按原答案输出，故此处保留原答案步骤，但需指出错误。
提示：注意：原答案中 $f''(x)<0$ 的推导是错误的，实际上 $f''(x)>0$。
步骤 6/6
目标：利用单调性证明不等式
（基于原答案）由于 $f''(x)<0$，则 $f'(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上严格递减。又 $f'(0)=0$，故 $f'(x)<0$ 在 $(0,\pi)$ 上成立，从而 $f(x)$ 严格递减。由 $f(0)=0$ 得 $f(x)<0$，即 $4(1-\cos x)
提示：注意：此步骤依赖于 $f''(x)<0$，但实际 $f''(x)>0$，因此原证明不成立。
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