大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8、 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2025 f(\xi)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
为了将待证等式 $f'(\xi)=2025 f(\xi)$ 转化为导数为零的形式，考虑构造辅助函数 $g(x)=e^{-2025x}f(x)$。对 $g(x)$ 求导得 $g'(x)=e^{-2025x}f'(x)-2025e^{-2025x}f(x)=e^{-2025x}\big(f'(x)-2025f(x)\big)$。由于 $e^{-2025x}\neq 0$，因此 $g'(x)=0$ 当且仅当 $f'(x)-2025f(x)=0$。
公式：g(x)=e^{-2025x}f(x),\quad g'(x)=e^{-2025x}\big(f'(x)-2025f(x)\big)
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式化为 $f'(x)-k f(x)=0$ 的形式，乘以 $e^{-kx}$ 即可。
步骤 2/4
目标：验证罗尔定理条件
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微，则 $g(x)=e^{-2025x}f(x)$ 也在 $[a,b]$ 上可微。又由 $f(a)=f(b)=0$ 得 $g(a)=e^{-2025a}\cdot 0=0$，$g(b)=e^{-2025b}\cdot 0=0$，即 $g(a)=g(b)$。因此 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足罗尔定理的所有条件。
公式：g(a)=0,\quad g(b)=0
提示：注意检查可微性和端点函数值相等，这是应用罗尔定理的前提。
步骤 3/4
目标：应用罗尔定理
由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：\exists\,\xi\in(a,b),\; g'(\xi)=0
提示：罗尔定理保证存在性，但具体位置未知。
步骤 4/4
目标：推导结论
由 $g'(\xi)=0$ 得 $e^{-2025\xi}\big(f'(\xi)-2025f(\xi)\big)=0$。由于 $e^{-2025\xi}>0$，故 $f'(\xi)-2025f(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=2025f(\xi)$。结论得证。
公式：f'(\xi)=2025f(\xi)
提示：指数因子恒不为零，可直接约去。
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