大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9、函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，以 $T>0$ 为周期， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=0, ~ g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ，证明：广义积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解条件并确定证明思路
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，以 $T>0$ 为周期，且 $\int_0^T f(x) dx = 0$；$g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调，且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$。要证明广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。由于 $f$ 的周期积分为零，其原函数有界，这启发我们使用分部积分法，结合 $g$ 的单调性，类似于 Dirichlet 判别法。
公式：\int_0^T f(x) dx = 0, \quad \lim_{x\to+\infty} g(x)=0
提示：注意 $f$ 的周期性和零均值条件是构造有界原函数的关键。
步骤 2/6
目标：构造有界辅助函数 $F(x)$
令 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$。由于 $f$ 连续，$F$ 连续可导且 $F'(x)=f(x)$。计算 $F(x+T) = \int_0^{x+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt + \int_T^{x+T} f(t) dt = 0 + \int_0^x f(u) du = F(x)$，因此 $F$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。周期连续函数在 $\mathbb{R}$ 上有界，故存在 $M>0$ 使得 $|F(x)| \le M$ 对一切 $x$ 成立。
公式：F(x) = \int_0^x f(t) dt, \quad F(x+T)=F(x), \quad |F(x)|\le M
提示：验证周期性时注意积分变量替换 $u=t-T$。
步骤 3/6
目标：应用分部积分转化积分
对任意 $0 \le A < B$，考虑 $\int_A^B f(x)g(x) dx$。因为 $dF(x)=f(x)dx$，分部积分得：
\[
\int_A^B f(x)g(x) dx = \int_A^B g(x) dF(x) = \left. g(x)F(x) \right|_A^B - \int_A^B F(x) dg(x).
\]
这里 $dg(x)$ 理解为单调函数 $g$ 产生的 Lebesgue-Stieltjes 测度（或 Riemann-Stieltjes 积分），因为 $g$ 单调，该积分有意义。
公式：\int_A^B f g = g(B)F(B) - g(A)F(A) - \int_A^B F dg
提示：分部积分要求 $F$ 连续可导，$g$ 单调，Stieltjes 积分形式是严格的。
步骤 4/6
目标：估计边界项
由于 $|F(x)| \le M$ 且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$，当 $B \to +\infty$ 时，$g(B)F(B) \to 0$。而 $g(A)F(A)$ 是固定有限值。因此边界项在 $B\to\infty$ 时趋于 $-g(A)F(A)$，是有限数。
公式：\lim_{B\to+\infty} g(B)F(B)=0, \quad |g(A)F(A)| \le M|g(A)|
提示：边界项有限是积分收敛的必要条件之一。
步骤 5/6
目标：估计积分项并证明柯西准则
不妨设 $g$ 单调递减（若递增可考虑 $-g$，结论不变）。则 $dg(x) \le 0$，且 $\int_A^B |dg(x)| = g(A)-g(B)$。于是
\[
\left| \int_A^B F(x) dg(x) \right| \le M \int_A^B |dg(x)| = M(g(A)-g(B)) \le M g(A).
\]
对任意 $\varepsilon>0$，取 $A$ 充分大使得 $g(A) < \varepsilon/(3M)$。则对任意 $B_2 > B_1 > A$，有
\[
\left| \int_{B_1}^{B_2} f g \right| \le |g(B_2)F(B_2)| + |g(B_1)F(B_1)| + M(g(B_1)-g(B_2)) \le 3M g(B_1) < \varepsilon.
\]
由柯西收敛准则，$\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。
公式：\left| \int_{B_1}^{B_2} f g \right| \le 3M g(B_1) < \varepsilon
提示：单调性保证了 $g$ 的变差可控；柯西准则是证明广义积分收敛的常用方法。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上步骤，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。
公式：\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx \text{ 收敛}
提示：证明中未要求 $g$ 可导，仅用到单调性，因此结论更一般。
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