大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n \int_{0}^{1} f(x+t) e^{-n t} \mathrm{~d} t}{1-e^{-n}}$一致收敛于 $f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入核函数并化简表达式
令 $g_n(t)=\frac{ne^{-nt}}{1-e^{-n}}$，则 $\int_0^1 g_n(t)dt=1$。于是 $f_n(x)=\int_0^1 f(x+t)g_n(t)dt$，从而 $f_n(x)-f(x)=\int_0^1 [f(x+t)-f(x)]g_n(t)dt$。
公式：g_n(t)=\frac{ne^{-nt}}{1-e^{-n}}, \quad \int_0^1 g_n(t)dt=1
提示：注意验证 $g_n(t)$ 的积分是否为1，这是后续放缩的基础。
步骤 2/5
目标：利用一致连续性处理小区间
由 $f(x)$ 一致连续，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。将积分区间分为 $[0,\delta]$ 和 $[\delta,1]$。对于 $t\in[0,\delta]$，有 $|f(x+t)-f(x)|<\varepsilon$，故 $\left|\int_0^\delta [f(x+t)-f(x)]g_n(t)dt\right|\leq \varepsilon\int_0^\delta g_n(t)dt\leq \varepsilon$。
提示：一致连续给出的 $\delta$ 与 $x$ 无关，这是证明一致收敛的关键。
步骤 3/5
目标：利用有界性处理大区间
由于 $f(x)$ 有界，设 $|f(x)|\leq M$，则 $|f(x+t)-f(x)|\leq 2M$。对于 $t\in[\delta,1]$，有 $\left|\int_\delta^1 [f(x+t)-f(x)]g_n(t)dt\right|\leq 2M\int_\delta^1 g_n(t)dt$。计算 $\int_\delta^1 g_n(t)dt = \frac{n\int_\delta^1 e^{-nt}dt}{1-e^{-n}} = \frac{e^{-n\delta}-e^{-n}}{1-e^{-n}}$。
公式：\int_\delta^1 g_n(t)dt = \frac{e^{-n\delta}-e^{-n}}{1-e^{-n}}
提示：注意 $g_n(t)$ 在 $[\delta,1]$ 上单调递减，但此处直接积分即可。
步骤 4/5
目标：证明大区间部分趋于零
当 $n\to\infty$ 时，$e^{-n\delta}\to 0$，$e^{-n}\to 0$，且 $1-e^{-n}\to 1$，故 $\frac{e^{-n\delta}-e^{-n}}{1-e^{-n}}\to 0$。因此存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，$\frac{e^{-n\delta}-e^{-n}}{1-e^{-n}}<\frac{\varepsilon}{2M}$，从而 $\left|\int_\delta^1 [f(x+t)-f(x)]g_n(t)dt\right|<\varepsilon$。
提示：这里 $N$ 的选取与 $x$ 无关，因为 $\delta$ 由一致连续性决定且与 $x$ 无关。
步骤 5/5
目标：综合两部分得到一致收敛
综上，当 $n>N$ 时，对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $|f_n(x)-f(x)|\leq \left|\int_0^\delta\right|+\left|\int_\delta^1\right| < 2\varepsilon$。由定义，$f_n(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，以及 $N$ 与 $x$ 无关，确保一致收敛。
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