大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，记 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, x \in(-1,1)$收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x) f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知数列 $\{a_n\}$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，幂级数 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 在 $(-1,1)$ 内收敛。要证明：$\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = 0$。
公式：\lim_{x\to 1^-} (1-x)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0
提示：注意 $x$ 是从左侧趋近于1，即 $x<1$ 且 $x\to 1$。
步骤 2/5
目标：将 $(1-x)f(x)$ 转化为新的幂级数形式
对 $|x|<1$，利用恒等式：
$$
(1-x)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n - \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n - a_{n-1}) x^n.
$$
令 $b_0 = a_0$，$b_n = a_n - a_{n-1}$（$n\ge 1$），则 $(1-x)f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$。
公式：(1-x)f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n - a_{n-1}) x^n
提示：此变换将原问题转化为研究新级数在 $x\to 1^-$ 时的极限。
步骤 3/5
目标：分析新级数系数的性质
由于 $\{a_n\}$ 单调递减，故 $b_n = a_n - a_{n-1} \le 0$（$n\ge 1$）。部分和：
$$
\sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (a_k - a_{k-1}) = a_n - a_0 \to -a_0 \quad (n\to\infty).
$$
因此级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，且 $\sum_{n=0}^\infty b_n = a_0 + \lim_{n\to\infty}(a_n - a_0) = 0$。
公式：\sum_{n=0}^\infty b_n = 0
提示：注意 $b_n$ 是非正项，但级数收敛，这是阿贝尔定理适用的关键。
步骤 4/5
目标：应用阿贝尔第二定理
阿贝尔第二定理：若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ 的系数级数 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 收敛，则 $\lim_{x\to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty b_n$。
这里 $\sum_{n=0}^\infty b_n = 0$，且 $(1-x)f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$，故
$$
\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = 0.
$$
公式：\lim_{x\to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty b_n = 0
提示：阿贝尔定理要求级数在边界点收敛，这里 $\sum b_n$ 收敛到0，因此可直接使用。
步骤 5/5
目标：总结结论
通过将 $(1-x)f(x)$ 转化为系数级数收敛的幂级数，并应用阿贝尔第二定理，得到极限为0。
公式：\boxed{0}
提示：本题的关键在于构造新级数并利用阿贝尔定理，避免直接处理 $a_n$ 的衰减速度。
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