大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、证明：在 $(0,0)$ 的邻域内方程 $x-\cos \left(x^{2} y\right)+e^{x+y^{2}}=0$ 决定连续可微函数 $x=x(y)$ ，并证明在 $y=0$ 处取得极大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并验证条件
令 $F(x,y) = x - \cos(x^2 y) + e^{x+y^2}$。计算 $F(0,0) = 0 - \cos 0 + e^0 = 0$。计算偏导数 $F_x = 1 + 2xy \sin(x^2 y) + e^{x+y^2}$，在 $(0,0)$ 处 $F_x(0,0) = 1 + 0 + 1 = 2 \neq 0$。
公式：F(x,y)=x-\cos(x^2 y)+e^{x+y^2}
提示：注意 $F(0,0)=0$ 是隐函数存在的前提，$F_x \neq 0$ 是关键条件。
步骤 2/5
目标：应用隐函数定理
由隐函数定理，存在 $(0,0)$ 的邻域，方程 $F(x,y)=0$ 唯一确定连续可微函数 $x = x(y)$，满足 $x(0)=0$。
提示：隐函数定理要求 $F$ 连续可微且 $F_x \neq 0$，这里满足。
步骤 3/5
目标：求一阶导数并验证驻点
对 $F(x(y), y) = 0$ 两边关于 $y$ 求导：$F_x \cdot x'(y) + F_y = 0$。计算 $F_y = x^2 \sin(x^2 y) + 2y e^{x+y^2}$。在 $y=0$ 处，$x(0)=0$，故 $F_y(0,0)=0$，从而 $x'(0) = -F_y/F_x = 0$。
公式：F_x x'(y) + F_y = 0
提示：注意 $F_y$ 在 $(0,0)$ 处为0，所以 $x'(0)=0$。
步骤 4/5
目标：计算二阶偏导数
计算 $F$ 的二阶偏导数：
$F_{xx} = 2y \sin(x^2 y) + 4x^2 y^2 \cos(x^2 y) + e^{x+y^2}$，在 $(0,0)$ 处 $F_{xx}=1$。
$F_{xy} = 2x \sin(x^2 y) + 2x^3 y \cos(x^2 y) + 2y e^{x+y^2}$，在 $(0,0)$ 处 $F_{xy}=0$。
$F_{yy} = x^4 \cos(x^2 y) + 2e^{x+y^2} + 4y^2 e^{x+y^2}$，在 $(0,0)$ 处 $F_{yy}=2$。
提示：计算偏导时注意链式法则，代入 $(0,0)$ 时很多项为零。
步骤 5/5
目标：求二阶导数并判断极值
对 $F_x x'(y) + F_y = 0$ 两边关于 $y$ 求导：$(F_{xx} x' + F_{xy}) x' + F_x x'' + F_{yx} x' + F_{yy} = 0$。在 $y=0$ 处，$x'=0$，$x=0$，代入得 $F_x(0,0) x''(0) + F_{yy}(0,0) = 0$，即 $2 x''(0) + 2 = 0$，所以 $x''(0) = -1 < 0$。因此 $x(y)$ 在 $y=0$ 处取得极大值。
公式：F_x x'' + F_{yy} = 0
提示：注意 $x'=0$ 简化了表达式，二阶导数为负表明极大值。
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