大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续非负，且对任意的 $x, y \geq 0$ ，有
$$
f(x+y) \leq f(x)+f(y)
$$
证明：极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在且有限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并利用次可加性
定义 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$（$x>0$）。由条件 $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$，两边除以 $x+y$ 得：
$$
\frac{f(x+y)}{x+y}\leq \frac{f(x)}{x+y}+\frac{f(y)}{x+y}.
$$
由于 $x+y\geq x$ 且 $x+y\geq y$，且 $f$ 非负，有 $\frac{f(x)}{x+y}\leq \frac{f(x)}{x}$，$\frac{f(y)}{x+y}\leq \frac{f(y)}{y}$，因此
$$
g(x+y)\leq \frac{x}{x+y}g(x)+\frac{y}{x+y}g(y).
$$
公式：f(x+y) \leq f(x)+f(y)
提示：注意不等式方向：分母增大，分数减小。
步骤 2/6
目标：固定参数并分解自变量
固定 $a>0$，对任意 $x>0$，令 $n=\lfloor x/a \rfloor$，则 $x=na+r$，其中 $0\leq r
公式：f(na+r) \leq nf(a)+f(r)
提示：注意 $r$ 的范围，$f(r)$ 在闭区间 $[0,a]$ 上连续，故有界。
步骤 3/6
目标：推导上界估计
将不等式两边除以 $x$：
$$
\frac{f(x)}{x}\leq \frac{nf(a)+f(r)}{na+r}\leq \frac{nf(a)}{na}+\frac{f(r)}{na}=\frac{f(a)}{a}+\frac{f(r)}{na}.
$$
当 $x\to+\infty$ 时，$n\to\infty$，且 $f(r)$ 有界，故 $\frac{f(r)}{na}\to 0$。因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$ 使得当 $x>X$ 时，
$$
\frac{f(x)}{x}\leq \frac{f(a)}{a}+\varepsilon.
$$
公式：\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(a)}{a}+\frac{f(r)}{na}
提示：注意 $\frac{f(r)}{na}$ 趋于零是因为 $f(r)$ 有界且 $n\to\infty$。
步骤 4/6
目标：定义下确界并得到上极限
令 $L=\inf_{t>0}\frac{f(t)}{t}$。由 $L$ 的定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $a>0$ 使得 $\frac{f(a)}{a}
公式：L = \inf_{t>0}\frac{f(t)}{t}
提示：下确界可能达不到，但可以无限接近。
步骤 5/6
目标：得到下极限
由 $L$ 的定义，对任意 $x>0$，有 $\frac{f(x)}{x}\geq L$，因此 $\liminf_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\geq L$。
公式：\frac{f(x)}{x} \geq L
提示：下极限不小于下确界。
步骤 6/6
目标：综合得出极限存在
由 $\limsup \leq L \leq \liminf$，且 $\liminf \leq \limsup$ 恒成立，故 $\limsup = \liminf = L$，即极限 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ 存在且等于 $L$。由于 $f$ 非负，$L\geq 0$，且由 $f(1)$ 有限知 $L\leq f(1)$，故极限有限。
提示：注意极限存在的充要条件是上极限等于下极限。
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